НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ АЛЬМАНАХ

НАУЧНО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЖУРНАЛ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ АЛЬМАНАХ

«
Актуальные вопросы преподавания предметов естественно-научного цикла

Попов С.В. Живая математика

Оригинал материала размещен в выпуске № 02 (28) https://f.almanah.su/28.pdf


О культуре принятия решений вообще. Высокая культура принятия решений работников практически любой отрасли, имеющей отношение к бизнесу, промышленности, технологии, информации и пр., сейчас востребована, как никогда. Здесь под культурой принятия решений понимается не знание стандартных решений, которые можно приобрести постоянной практикой, а умение логически обосновывать решения в незнакомых ситуациях, извлекая новые знания из имеющихся. И если запомнить стандартные приемы решения - трудность не большая, то применять подобные методы в условиях неопределенности, достаточно сложно, и требует от работника способности творить. Однако, творчеству можно научиться лишь в юном возрасте: в школе и на первых курсах ВУЗов. Потом действуют умения и навыки, и, в большинстве случаев, творческий компонент не востребован.
Бесспорно, что эффективно творить, т.е. открывать неизведанное (подчеркнем, что здесь имеется в виду творчество в конкретных сферах: управленческой, технической, естественнонаучной и информационной) наиболее продуктивно учатся на уроках математики. Но, только если не смотреть на математику как на процедуру применение известных формул и приемов. Поэтому надо повышать творческий потенциал каждого ученика, чтобы решение творческих задач для школьников стало скорее нормой, чем исключением. Именно этой задаче посвящена представляемая разработка автора под названием «Живая математика», отражая тем самым мысль, что математика не есть законченное сформировавшееся здание, которым любуются снаружи дилетанты и кропотливо достраивают профессионалы. В отношении к обучению математике автор придерживается взгляда, аналогичного тому, который сформировался в Теории Решения Изобретательских Задач (ТРИЗ) Г.С. Альтшуллера. Т.е. имеется относительно небольшое число приемов, назовем их метаприемами, которые успешно можно использовать для решения математических задач.
Система «Живая математика». Отметим, что проблема формирования математических знаний, умений и навыков в современной средней школе встала очень остро. И автор очень надеется, что его «Живая математика» позволит каждому ученику развить в себе логическое мышление, что является обязательным условием для успеха как в математике, так и в любой другой области знаний, где необходимо принимать осмысленные решения.
Наиболее распространенные метаприемы автор оформил в виде информационной системы, которая позволяет выбирать и наглядно отражать все этапы (правильные и не правильные) решения, приводящие (или не приводящие) к искомому решению. Приводят не всегда потому, что в некоторых задачах решение нельзя логически вывести, его надо увидеть, и лишь потом обосновать. А способностью увидеть решение обладают далеко не все. Однако, с приобретением навыков видения вначале простых, а затем все более сложных объектов ученику становится все легче увидеть окончательное решение. Типичным примером подобного явления является этап алгоритмизации решения прикладной задачи, без которого невозможна эффективная работа программиста. Опытный программист сразу видит алгоритм решения и начинает программировать без предварительной подготовки, а не опытный должен вначале представить решение в виде последовательности шагов, а уже затем программировать. Также и в деятельности по принятию решения – опытный управленец видит последовательность бизнес-шагов, необходимую для достижения конкретного результата, не опытный – вначале выстраивает последовательность мероприятий, чтобы убедиться в ее непротиворечивости.
Остановимся на некоторых наиболее существенных приемах решения, которые отчетливо усматриваются при решении школьных задач повышенной сложности, и которые реализованы в информационной системе «Живая математика».
Предварительное преобразование задачи - состоит в том, что по исходной задаче формулируется эквивалентная ей в том смысле, что решение последней влечет решение исходной. К таким преобразованиям относятся: формулировка обратной задачи; допущение, что исходная задача не имеет решения (доказательство от противного); выделение подзадачи, которую необходимо решить для получения искомого ответа; обобщение задачи до уровня, когда ее решение проще исходной, использованием индукционных рассуждений (т.е. обобщение частных случаев) и т.п. Все эти приемы перечислены в разделе Подсказки, где пользователь сможет найти подсказку для решения исходной задачи. Приобретение опыта позволяет ему расширять набор используемых приемов, т.к. математика слишком обширная область и перечислить все приемы переформулировки задач невозможно. Однако, с опытом это становится почти рутиной, и ученик приобретает навыки преобразования, наиболее предпочтительные для него. Одна из задач «Живой математики» состоит в помощи ученикам накапливать и систематизировать опыт сведения задач к другим.
Разложение задачи на подзадачи. Этот прием особенно успешен для решения комбинаторных задач, решаемых перебором вариантов, когда априорно невозможно логически обосновать выбор того или иного варианта решения. В итоге выбор и анализ вариантов превращается в умственный эксперимент, а окончательное решение появляется в результате прохождения некоторого, быть может достаточно длительного, этапа формулировки и проверки гипотез. «Живая математика» автоматизирует метод сведения к подзадачам, позволяя «на лету» предлагать и рассматривать варианты решения. При этом все предложенные и рассмотренные варианты сохраняются в компактном представлении в базе данных. Поэтому всегда можно вернуться к прежнему варианту, и провести его дополнительный анализ. В данном случае помощь информационной системы чисто техническая, никакого интеллектуального труда она не выполняет, просто позволяя формировать деревья решений большой глубины при неограниченном ветвлении в каждом узле.
Подсистема разбора вариантов обладает возможностью проследить всю последовательность шагов, приводящих к конкретной подзадаче, тем самым давая ученику возможность увидеть весь путь, приводящий к определенному состоянию в поиске решения. Такой просмотр истории решения полезен тем, что возникают новые идеи, сокращающие уже существующее рассуждение или порождающие новые идеи. Если вы занимались решением математических головоломок, решение которых не удается увидеть, а требуется перебор, то вы представляете полезность такого механизма.
Графическая иллюстрация задачи. В большинстве сложных алгебраических задач (например, решение уравнений с параметрами) удачно подобранная графическая иллюстрация позволяет определить, как области, в которых следует искать решение, так и число решений, возникающее в разных ситуациях (например, от выбора параметра). А иногда просто увидеть искомое решение. Для этого надо уметь строить графики функций, которые могут быть заданы явно или неявно, например, характеристическими предикатами. В «Живой математике» имеется мощный аппарат построения графиков разнообразных функций, используемых при решении алгебраических и тригонометрических уравнений. Отметим, что система не решает уравнений за ученика, она помогает ему увидеть искомое решение.
Кроме того, используя графический аппарат легко исследовать поведение функции на различных интервалах в зависимости от параметров. Тем самым, легко удается объяснить ученику различные свойства функции, например, существование вертикальной и горизонтальной асимптоты.
Множество функций, для которых в Живой математике можно строить графики, практически неограниченно, т.к. имеется механизм построения суперпозиции функций из базисных. Тем самым, у ученика накапливается опыт построения графиков не стандартных функций, что существенно расширяет его математические возможности.
Вычисление неподвижной точки. Каждая решаемая задача предполагает наличие фиксированного множества объектов, определяемого формулировкой задачи, отношений на нем и совокупности преобразований для получения новых объектов предметной области и соотношений между ними.
Наиболее типичный пример – геометрия, которая требует от ученика достаточно развитой логики для решения задач. Именно логические рассуждения, базирующиеся на свойствах геометрически объектов, позволяют получать искомые решения. Но даже при достаточно бедном условии задачи количество возможных логических следствий весьма велико. И среди них могут оказаться полезные, которые могут навести на правильное решение. Отфильтровывание не нужных и выделение полезных следствий есть цель работы блока построения неподвижны точек.
Проиллюстрируем это следующим образом. Исходно задача формулируется в терминах относительно небольшого числа объектов (точек, отрезков, углов, треугольников и пр.) и отношений на них (равенства отрезков и углов, параллельности и коллинеарности отрезков и пр.). По мере применения тех или иных теорем, множества объектов и отношений растут, наконец, достигая состояния, когда рост прекращается и, тем самым, множества становятся максимальными. Такое максимальное множество объектов и полученных соотношений называется неподвижной точкой задачи. И получение неподвижной точки сводится к преобразованиям объектов из пространства понятий, определяемом задачей. Если неподвижная точка содержит решение, то задача решена. Если нет, то «Живая математика» содержит подсказки, которые позволяют прибегнуть к новому свойству, чтобы запустить процесс получения новой неподвижной точки, более широкой по сравнению с уже имеющейся. На этом основывается автоматизация математических рассуждений, например, в [1], путем расширения совокупности преобразований области решения задачи за счет включения новых соотношений между объектами. В геометрии это суть применения новых, до сих пор не использованных теорем. И тогда неподвижная точка расширяется. Так можно автоматически решать задачи, но сейчас наша цель состоит в ином – научить школьника эффективно применять такие преобразования, демонстрируя возможности использования различных соотношений.
Тот же метод получения неподвижных точек относится и к получения новых алгебраических и тригонометрических соотношений.
Заметим, что процесс получения неподвижных точек приводит нас к необходимости обратиться к рассуждениям, которые не имеют характера линейной последовательности умозаключений. Это, в определенном смысле, перекликается с методикой обучения нейронных сетей, в которых также отсутствует линейность алгоритма обучения, и которые обучаются, исходя из полученного отклонения от заданного эталона.
Геометрическая иллюстрация. Известно, что в геометрии для успешности решения задачи большое значение имеет удачный чертеж. Поэтому «Живая математика» содержит специализированный графический редактор, дающий возможность легко рисовать и перерисовывать чертеж, указывая все соотношения между его компонентами. Последние суть равенства отрезков, углов, треугольников и пр., отношение дополнения или вертикальности углов, перпендикулярности отрезков и т.п. Именно в терминах этих отношений осуществляется поиск неподвижных точек, которые на каждом этапе поиска выступают в качестве подсказок, позволяющих выбирать дальнейшее направление поиска. Установление новых соотношений на чертеже и выделение из них полезных – то функция блока получения неподвижной точки. Геометрический редактор лишь дает возможность отобразить на чертеже полученные соотношения.
Алгебраический калькулятор. Умение преобразовывать алгебраические выражения дает существенное преимущество ученику при решении большого числа задач. Школьник, владеющий устойчивыми навыками алгебраических преобразований, легко может свести исходное выражение к наиболее выгодному виду, например, разложить на множители, чтобы потом легко найти решение. Зачастую вынесение нетривиального множителя в алгебраическом или тригонометрическом выражении оказывается далеко не простой задачей. Чтобы научить ученика видеть, как преобразовывать исходное алгебраическое выражение, в «Живой математике» имеется Алгебраический калькулятор, который обеспечивает все необходимые алгебраические преобразования. С его помощью ученик может легко получить различные результаты по исходному выражению: приведение подобных, умножение и деление полиномов, вынесение общих членов, сокращение полиномов и т.п. В случае алгебраических преобразований окончательного результата быть не может, т.к. он определяется условием решаемой задачи. Поэтому, имея под рукой подсистему разнообразных преобразований, ученик сможет выбрать тот результат, который как ему кажется, быстрее приводит к решению.
Подсистема привлечения известного ПО и полезных ссылок. В настоящее время имеется много прикладных программ, которые учитель математики может использовать в школе. Взять хотя бы хорошо известный Excel, позволяющий решать большое число вычислительных задач и поэтому являющийся незаменимым инструментом при решении задач, связанных с перебором вариантов. Чтобы не повторять уже известное, «Живая математика» дает ссылки на известное ПО и сервисы, которые могут быть использовано в каждом конкретном случае. При этом для каждого ПО приводится методика его использования на примерах уже решенных задач. Мы исходим из того, что современное информационное пространство не ограничивается учебниками, которыми располагает ученик. Оно включает все доступные средства, позволяющие развить навыки и выработать у ученика собственный взгляд на возникающие проблемы. Привлечение с этой целью стороннего ПО не следует путать с распространенным среди школьников мнением, что все задачи уже решены и надо только покопаться в Интернете, чтобы найти решение. Такой подход не продуктивен, он скорее внушает ученику неуверенность в своих силах, что впоследствии приведет к неспособности принимать адекватные решения в реальной ситуации.
Коммерциализация проекта. Целевой аудиторией для системы «Живая математика» автору видятся, во-первых, школьники, желающие сдать ЕГЭ с высокой оценкой или получше подготовиться к олимпиадам по математике, решая задачи повышенной сложности, во-вторых, учителя математики старших классов, которым не чужд интерес к информационным технологиям, и, наконец, репетиторы по математике, желающих повысить эффективность своих занятий.
Реализация. Несколько слов о реализации системы «Живая математика». В настоящее время проработаны концепции всех подсистем и созданы их a-версии. Продукт проходит апробацию на тестовых, главным образом олипиадных, задачах. В перспективе видится разработка мобильной версии системы.

Литература

1.       Попов С.В. Логическое моделирование. Изд-во Тровант, 2006, 256 с.
2.       Попов С.В. Основы теории решения задач, М.: МИФИ, 1996, 250 с.
2020