Оригинаqaл материала размещен в выпуске № 12 (26) https://f.almanah.su/26.pdf
Введение. Увлечение автоматизированными системами мониторинга знаний, особенно в форме тестирования, демонстрирует большой интерес педагогической общественности к этой теме. Это естественно, так как информационные технологии позволяют делать многое, чего нельзя при традиционных формах мониторинга. Поэтому наступило время ввести теоретический базис основных положений современного мониторинга. Так, когда мы говорим о мониторинге знаний, следует уточнить, что такое знание, и (это самое важное!), что такое незнание, какие типы незнания устанавливаются, и какой вид контроля использовать для различных типов незнания. Исходя из этого, в статье приводится теоретический базис, который можно использовать при разработке систем автоматизированного мониторинга.
Статья представляется автору актуальной еще и потому, что в настоящий момент тестирование переживает второе рождение, на тот раз тестируются педагоги. И если тестирование учащихся заняло свое место в практике преподавателей, то тестирование педагогов только набирает обороты, и переживает все те заблуждения, которыми на начальном этапе характеризовалось тестирование учащихся.
О знании, незнании и иллюзии. В этом разделе мы проанализируем процесс мониторинга, выделим его главные моменты и предложим методику его организации. Но прежде необходимо уточнить, что такое знание и незнание так, чтобы можно было классифицировать типы незнания. С этой целью введем некоторые понятия.
Во-первых, контролируемого назовем субъектом, а область, в которой проверяются его знания, предметной областью (ПО). Теперь, по возможности формально, определим, что такое незнание, какие типы незнания существуют, и какие виды контроля следует использовать для установления различных типов незнания. Будем считать, что относительно данной ПО субъект владеет совокупностью положений, установок, правил и способов получения новой информации, которые образуют множество S. Можно полагать, что S представляет собой совокупность высказываний, образованных над некоторым понятийным базисом. Множество S можно ввести совершенно формально, но мы не делаем этого, так как работа имеет практическую направленность и не носит характера математических исследований. Понятно, что множество суждений S характеризуется определенным словарем AS, который используется для обозначения базисных и производных понятий, функций, отношений и т.п.
Все правильные утверждения о ПО, которые субъект может сформулировать, назовем выводимыми из S и обозначим OS. Здесь под правильными понимаются суждения, не противоречащие ПО. Это знание субъекта о предметной области. Факт выводимости совокупности OS из S обозначим так: S |= OS. В данном случае термин «выводимость», подразумевает, что субъект обладает адекватным логическим аппаратом и выводимость понимается в обычном смысле как построение логических умозаключений.
Помимо того, что относится к субъекту, рассмотрим содержание ПО. Пусть ПО по аналогии со знаниями субъекта характеризуется совокупностью утверждений O, которые представляют собой описание ПО. Эти утверждения характеризуются словарем AO, и каждое высказывание построено из компонентов этого словаря. Знание всех утверждений O эквивалентно полноте знаний субъекта ПО. Но нас интересует случай наличия пробелов в знаниях субъекта, поэтому будем полагать, что OS Í O, т.е. знания субъекта не покрывают всей совокупности O. Разность O \ OS представляет собой область незнания субъекта. Каждое высказывание из этой совокупности характеризует конкретное незнание субъекта.
В определенном смысле, антиподом незнания, что выражается собственным включением OS Ì O, выступает иллюзия, когда субъект из системы S собственных представлений выводит некоторые суждения, как ему кажется, верные в данной ПО, но на самом деле не содержащиеся в O. Формально это можно выразить как не пустоту множества суждений, выводимых из S, но не включенных в O, т.е. {x: S |= x и x Ï O} ¹ Æ.
Пример. Обыватель имеет иллюзию, что компьютер – это умная машина, знающая ответы на все вопросы.
Понятно, что при таком определении иллюзии и незнание суть разные понятия. Можно сказать, что иллюзии это то, что, как кажется, должно иметь место в исследуемой ПО, а незнание – это о чем мы не догадываемся, относительно той же ПО.
2. Типы незнания. Перечислим причины, в результате которых возникает каждое конкретное незнание.
1. Словарь AS уже словаря AO. Следовательно, субъект не обладает знанием всех терминов, понятий, функций, отношении, преобразований, действий и т.п., встречающихся в описании ПО. Это – случай незнания первого рода.
2. Словарь AS не уже словаря AO, но у субъекта отсутствует представление о связи некоторых понятий. Содержательно это выражается так: субъект знает все понятия, необходимые для описания ПО, но не для всех производных понятий он представляет их определения через понятия нижнего уровня. В итоге, он не может правильно выразить некоторые понятия через другие, т.е. определить. Это бывает, когда субъект может назвать некоторые понятия, но не может объяснить их происхождение. Например, учащийся знает, что указатель в языке C есть адрес, но не понимает, что указатель есть адрес конкретной переменной или массива. В результате он не связывает имя понятия с его наполнением. Понятно, что в этом случае у субъекта налицо проблема анализа – он не может свести сложное понятие к более простым. Назовем этот случай незнанием второго рода.
3. Словари AS и AO совпадают, но субъект не может осуществлять умозаключения на основе уже имеющихся знаний. Содержательно это обозначает, что, располагая знаниями (например, в виде правил порождения новых объектов), субъект не может их применять, т.к. не в состоянии получать новые объекты, факты, сведения из уже имеющихся. Например, он знает все конструкции, которые необходимы, чтобы написать программу для содержательно понятной ему задачи, но не может этого сделать. Т.е. он не может свести к одной формальной конструкции все те знания, в том числе понятия, суждения, правила и т.п., чтобы создать нечто новое – в данном случае программу. Это проблема синтеза. Назовем этот случай незнанием третьего рода.
4. Наконец, имеется еще одни случай незнания, когда субъект не в состоянии осуществлять обобщения на материале ПО. Это может быть, когда субъект не может пользоваться методом неполной индукции, или находить общие решения вместо частных, а также решения, которые не сводятся к установлению конкретного значения, а имеют вид задачи на доказательство существования того или иного объекта без конкретного его построения. Например, из перечисленных фактов, которые описывают однотипные характеристики для объектов одного класса, субъект не в состоянии вывести, что все объекты данного класса характеризуются этим свойством. Или когда вместо описания алгоритма нахождения конкретного значения переменной необходимо доказать, что для этой переменной существует такое-то ее значение. К этому же типу затруднений относится неспособность ученика выразить общее решение по совокупности частных. Это проблема обобщения. Назовем этот случай незнанием четвертого типа.
3. Выявление незнания первого рода. Рассмотрим, какими приемами можно установить незнание одного из перечисленных типов. Здесь могут быть как простые способы установления незнания, так и весьма замысловатые. Незнание первого рода – это терминологическое незнание и оно проверяется наиболее простым способом.
Примеры.
Указать термины, которые используются в программировании средствами объектно-ориентированного языка:
1. Переменные, указатели, программы, типы данных;
2. Прямые, отрезки, треугольники;
3. Присваивание, инициализация, вычисление выражений;
4. Классы, объекты, конструкторы, деструкторы;
5. Рост, вес, цвет глаз.
Правильные ответы: 1, 3, 4.
Как называется функция, которая может вызывать сама себя?
1. рекурсивная
2. инверсионная
3. регрессивная
4. шаблонная
5. встроенная
6. Правильный ответ: 1
Если мы хотим не только установить факт незнания, но и выявить его причину, то понятийный базис следует предварительно обработать. Необходимо упорядочить понятия ПО, чтобы потом разделять терминологические тесты на относящиеся к базисным понятиям, понятиям, построенным на основе базисных, и т.д. Здесь мы уже вторгаемся в область незнания второго рода, чему будет уделено внимание в следующем разделе.
4. Выявление незнания второго рода. Незнание второго рода связано с неверным анализом, в данном случае с невозможностью выразить сложные понятия через простые.
Пример. Параллелограмм – это:
1. Четырехугольник с равными противоположными сторонами;
2. Четырехугольник с параллельными противоположными сторонами;
3. Четырехугольник с равными и параллельными двумя противоположными сторонами;
4. Все ответы правильные
5. Нет ни одного правильного ответа.
Правильный ответ 4-й.
Параллелограмм определяется как четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. Из этого определения вытекают необходимые и достаточные условия, которые могут выступать в качестве определения параллелограмма. Вставляя эти условия в тест, проверяется способность субъекта к установлению соотношений между базисными понятиями ПО.
Взаимосвязь понятий может быть представлена в виде графовой модели, например, в виде семантической сети (см. [1]), логического выражения – в виде продукции (см. [2]) и т.п. Формальных средств для выражения одних понятий через другие – множество. Если преподаватель хочет остаться в области содержательных обозначений, то выражение может быть и словесным.
Решение сформулированной проблемы для тех ПО, где это возможно с относительно небольшими временными затратами видится следующим образом:
1. На первом этапе необходимо создание глоссария понятий и отношений.
2. После этого требуется установить логические отношения между понятиями, что тоже можно сделать формальными средствами, используя язык логики и теории множеств.
3. Теперь формализация понятий того или иного раздела ПО порождает непротиворечивую систему высказываний, связанных определенными отношениями. Внося в эту систему неопределенность путем устранения какого-либо отношения, получается тест, в котором ответ логически следует из условий: а именно, необходимо восстановить это отношение.
5. Выявление незнания третьего рода. Незнание третьего рода связано с неспособностью субъекта синтезировать новые конструкции по уже имеющимся с использованием логического аппарата. Это наиболее типичный вид незнания. Для установления этого типа незнания подходят любые задачи на установление конкретного результата, который имеет вид числа, отношения между объектами ПО, геометрического построения, конкретной программы для решения содержательной задачи и т.п.
Пример. Вычислить выражение: log510 + log5(1/1250);
Решить неравенство:
.
Решить уравнение: log7(6x-15) - log73= log712.
Найти значение выражения
, если
; p/2 £ a £ p.
Незнание третьего рода возникает по причине неумения строить логические конструкции с использованием материала конкретной ПО, или неумение строить логические конструкции вообще, т.е. в неумении рассуждать. Причина первого подтипа незнания (это незнание третьего рода для конкретной ПО) выявляется просто с помощью соответствующего тестового материала. А неумение логически рассуждать безотносительно той или иной ПО выявляется более тонкими средствами, например, решением логических задач, не имеющих акцента на конкретные понятийный базис и аксиоматику.
Третий – это наиболее распространенный тип незнания, он имеет хождение, как на школьной скамье, так и в профессиональном образовании (колледжах и ВУЗах). Поэтому количество тестовых заданий для его выявления обычно наиболее представительное.
6. Выявление незнания четвертого рода. Проверку умения обобщать на материале конкретной ПО, т.е. выявление незнания четвертого рода можно проиллюстрировать следующим примером.
Пример. Решение уравнение sin x = ½ это
1. p/6
2. 5p/6
3. p/6 и 5p/6
4. (-1)n p/6 + pn.
Правильный ответ 4. Первые три ответа неполные, в них не учитывается свойство периодичности функции sin. Последний ответ правильный, он демонстрирует способность учащегося переходить от частных решений к общим.
Что касается установления причины незнания четвертого рода, то в данном случае она может быть из-за незнания материала ПО или из-за неумения пользоваться приемами обобщения. Если первое можно выяснить в результате тестирования субъекта, то второе является скорее его общекультурным недостатком и поэтому требует выявления более акцентированными средствами, например, решением определенного типа логических задач. Особенно подходят для этого тесты установления IQ. Следует отметить, что это незнание выявить наиболее трудно, в математике обычно для этого используются т.н. задачи повышенной сложности.
Библиографический список
1. Попов С.В. Основы теории решения задач, М.:МИФИ, 1996, 250 с.2. Попов С.В. Логическое моделирование, М.: Тровант, 2006, 256 с.