Михайлова О. В., Растворцева Н. В. Элементы теории вероятностей в школе

Оригинaл материала размещен в выпуске № 11 (61) https://f.almanah.su/61.pdf

В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название комбинаторных задач. Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.
В нашу жизнь властно вошли выборы и референдумы, банковские кредиты и страховые полисы, таблицы занятости и диаграммы социологических опросов. Общество все глубже начинает изучать себя и стремится сделать прогнозы о самом себе и о явлениях природы, которые требуют представлений о вероятности.
Зарождение теории вероятностей произошло в поисках ответа на вопрос: как часто наступает то или иное событие в большой серии испытаний со случайными исходами, которые происходят в одинаковых условиях?
Мы должны научить наших детей жить в вероятной ситуации. А это значит извлекать, анализировать и обрабатывать информацию, принимать обоснованные решения в разнообразных ситуациях со случайными исходами.
В курсе «Элементы теории вероятностей», в котором рассматриваются наиболее простые примеры дискретных пространств элементарных событий. Известный американский математик В. Феллер [ 2 ] отмечал, что изучение дискретных пространств элементарных событий позволяет без использования сложного аналитического аппарата ввести слушателя в курс основных идей теории вероятностей и ее приложений.
В начале курса вводятся следующие понятия:
испытание – любой эксперимент, наблюдение, контрольные и проверочные действия, различные соревнования, обследования;
исходы испытаний – результаты испытания;
случайные исходы испытания – результаты испытания, которые нельзя заранее предсказать, поскольку они могут быть разными и определяются случайным стечением обстоятельств в ходе испытания;
множество исходов испытания – множество всех возможных случайных исходов испытания.
Примеры и задачи, используемые в курсе, касаются испытаний с небольшим числом случайных исходов.
На начальном этапе школьники должны научиться определять множества исходов единичных испытаний.
Учащиеся должны научиться в несложных случаях находить характеристики для ряда числовых данных, понимать их практический смысл.
Рассмотрим некоторые примеры и приемы их решений, с пояснениями и комментариями к каждой задаче и ответы.
Пример 1.  В кармане у Миши было четыре конфеты — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».
Решение. В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.
Ответ: 0,25.
Пример 2. Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 100 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Решение. В среднем без дефектов выпускают 92 сумки из каждых 100, поэтому искомая вероятность равна 0,92.
Ответ: 0,92.
Пример 3.  В классе 26 учащихся, среди них два друга — Андрей и Сергей. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение. Пусть один из друзей находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй друг окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.
Ответ: 0,48.
Пример 4. В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно два раза.
Решение. Обозначим выпадение орла буквой О, а выпадение решки буквой Р. Возможных восемь исходов:
OOO, OОР, ОРО, ОРР, РОО, РОР, РРО, РРР
Из них благоприятными являются OОР, ОРО и РОО. Поэтому искомая вероятность равна   то есть 0,375. (Этот подход затруднителен в случае большого числа бросаний монетки.)
Ответ: 0,375.
Пример 5. Вася, Петя, Коля и Лёша бросили жребий — кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Петя.
Решение. Жребий начать игру может выпасть каждому из четырех мальчиков. Вероятность того, что это будет именно Петя, равна одной четвертой.
Ответ: 0,25.
Пример 6. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что в первый раз выпало 6 очков.
Ответ: 0,2.
Пример 7. В соревновании по биатлону участвуют спортсмены из 25 стран, одна из которых ― Россия. Всего на старт вышло 60 участников, из которых 6 ― из России. Порядок старта определяется жребием, стартуют спортсмены друг за другом. Какова вероятность того, что десятым стартовал спортсмен из России?
Решение. В соревновании принимает участие 6 спортсменов из России, всего 60 участников. Тогда вероятность того, что спортсмен, выступающий десятым, окажется из России, равна

Ответ: 0,1. 
Пример 8. На клавиатуре телефона 10 цифр, от 0 до 9. Какова вероятность того, что случайно нажатая цифра будет чётной?
Решение. На клавиатуре телефона 10 цифр, из них 5 четных: 0, 2, 4, 6, 8. Поэтому вероятность того, что случайно будет нажата четная цифра, равна 5 : 10 = 0,5.
Ответ: 0,5.
Пример 9. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?
Решение. Вероятность того, что команда России окажется во второй группе, равна отношению количества карточек с номером 2, к общему числу карточек. Тем самым, она равна

Ответ: 0,25
В рассматриваемых примерах для испытаний со счетным числом исходов можно использовать классическое и статистическое определение вероятности (см., например, [3]). Однако трудно не согласится с венгерским математиком А. Реньи, отметившим, что классическое определение вероятности не является определением, а дает лишь метод ее вычисления в простейших случаях [4].
Внимание учащихся следует обратить на то, что на практике статистические испытания и наблюдения являются основным способом оценки вероятностей событий.
В заключении хочется подчеркнуть, что учащимся вполне по силам изучение элементов теории вероятностей на примерах простых испытаний.

Список литературы

1. Федосеев В.Н. Решение вероятностных задач. – М.: ВШМФ Авангард, 1999
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. – М.: Мир, 1964.
3. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей: Учебное пособие для 9 – 11 классов. – М.: Просвещение, 1990
4. Реньи А. Трилогия о математике / Пер. с венг./ Под ред. И с пред. акад. АН УССР, проф. Б.В. Гнеденко. – М.: Мир, 1980.
5. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2004