Попов С.В. Математика методической службы

Оригинaл материала размещен в выпуске № 03 (05) https://f.almanah.su/05.pdf

Введение. Методическая служба важна для современного профессионального обучения т.к. практически в любой производственной деятельности сейчас очень быстро меняются профессиональные навыки. Методика дает как стратегическое направление обучению, так и пути решения конкретных образовательных задач (тактику обучения). В связи с тем, что требования к современным учебным программам весьма динамичные, методическая служба профессиональных образовательных учреждений часто далека от понимания, как их формировать. Рассчитывать на ФГОСы не приходится, они отстают от актуальных требований работодателей. В точности также (хотя и в меньшей степени) отстают профессиональные стандарты. Но даже в рамках этих стандартов некомпетентность методической службы проявляется в рекомендованных программах в следующих аспектах:
- требуют учить то, что уже не востребовано (нарушается требование актуальности знаний);
- не выполняется условие хорошей базируемости, предполагающее что новое знание основывается на усвоенных ранее (в результате параллельно изучаются предметы, которые должны изучаться последовательно);
- в попытке ухватить всё, программы перегружаются, вопреки тому, что должны строиться последовательно на фундаменте общего образования (не выдерживается регламент объема усвоенных знаний);
- отсутствует необходимая пропорция между теоретической частью и практическими занятиями, в результате курс требует либо зубрежки, либо выработки навыков без их теоретического осмысления (в итоге прививается пассивность знаний, исключающая их сознательное использование при решении самостоятельных задач).
На взгляд автора подобные казусы возникают потому, что отсутствует механизм точного анализа методик, как с психологической точки зрения, так и с привлечением математических средств. Однако, чтобы подобный анализ был возможен, требуется ответить на ряд вопросов, пока не имеющих однозначного ответа.
1. Обучение происходит, главным образом, посредством содержательных утверждений. Поэтому надо понять, что такое содержательная информация, и как ее оценить. Это влечет проблему оценки неопределенности сообщения после его произношения, но до того, как оно станет полностью понятым учащимся.
2. Требуется определить на какие кванты информации следует делить учебный курс, чтобы реализовать надежное его усвоение, не оставляющее пробелов в знании. Но каждый пробел в знании – это содержательная неопределенность. Следовательно, если считать, что снятие неопределенности происходит в результате усвоения информации, вновь мы сталкиваемся с проблемой оценки объема содержательной информации и скорости ее усвоения.
3. Наконец, используя психологические и математические методы анализа следует сформулировать ограничение на учебный курс. С одной стороны, он должен быть достаточно информативным, чтобы постоянно загружать интеллект учащегося, с другой его нельзя перегружать понятиями, утверждениями, фактами, методами и пр., чтобы его усвоение не вызвало интеллектуального перенапряжения.
Цель статьи. Таким образом, основная цель статьи – это исследование содержательной информации, имеющейся в сообщениях, которыми преподаватель передает знания учащимся. С практической точки зрения, основываясь на психологическом и математическом базисе, в статье предлагаются критерии выстраивания учебных программ, чтобы знания приобретались студентом основательно, на прочном фундаменте. Здесь термин обучение имеет конкретный смысл, как передача знаний преподавателя учащимся, а не как обучение субъекта вообще. Поэтому рассматриваются лишь приемы, имеющие отношение к такому взаимодействию преподавателя и ученика. Кроме того, выводы статьи относятся, главным образом, к точным дисциплинам, в которых понимание материала предполагает его логическое обоснование. Однако, они могут быть распространены на дисциплины гуманитарного цикла, если в некоторых случаях вместо логического вывода использовать заключение по аналогии или ассоциативные рассуждения. Наконец, и это важно, в статье лишь намечен общий путь анализа методик обучения, который автор предполагает расширять и углублять, доведя в конечном итоге до конкретной методики формирования методик обучения.
1.       Активный контекст. В этой статье мы будем использовать термин «контекст», что требует уточнения его смысла, т.к. сам термин весьма многоплановый. Понятно, что дать формальное определение контекста невозможно, но мы уточним его настолько, чтобы в дальнейших рассуждениях не возникало недопонимания. Когда мы говорим о контексте, то в первую очередь, подразумеваем некоторую предметную область (ПО), которая характеризуется фиксированным словарем терминов и множеством суждений, высказываний. В статье исследуются проблемы обучения, поэтому мы рассматриваем контексты учебных дисциплин, которые излагаются преподавателем с целью передачи знаний учащимся. Так что предметными областями в данном случае являются учебные дисциплины.
Термин контекст может выступать в двух смыслах: пассивном и активном.
1.       С одной стороны, контекст субъекта можно трактовать как описание ПО, если мы полагаем, что он создает общее представление о ПО (пассивная роль контекста). Это контекст, так сказать, для внутреннего употребления самим субъектом - его носителем.
2.       С другой – контекст используется для построения умозаключений, которые обосновывают расширение контекста за счет новых объектов, суждений, алгоритмов, методов и пр. (активная роль контекста). Так как мы рассматриваем учебный процесс, представляющий собой передачу знаний от преподавателя учащемуся, то контекст будем понимать в активном смысле. То есть под контекстом будем понимать совокупность суждений, которые используются субъектом в качестве посылок его умозаключений.
В последующем возникнет вопрос об оценке сложности контекста или, что то же самое, - сложности ПО, т.к. контекст есть отображения предметной области. С содержательной точки зрения, говоря о сложности контекста, подразумевается не столько число включенных в него объектов, сколько разнообразие взаимосвязей между ними. Действительно, единственным средством получения новых объектов или новых утверждений, расширяющих контекст, - это логический вывод, т.к. только логически обоснованные объекты и утверждения могут расширять контекст. Иначе есть опасность возникновения противоречия. Но логический вывод – это последовательность применений логических правил, которые позволяют вывести новые утверждения из посылок. Но посылками одного правила могут быть вполне определенные утверждения, далеко не произвольные. Следовательно, чем больше утверждений могут служить аргументами логических правил, тем больше новых утверждений могут быть получены. Исходя из этого можно считать сложностью контекста – сложность логических выводов, которые могут быть построены из утверждений контекста.
2.       Этапы формирования новых знаний. Обучение будем трактовать как расширение знаний в результате осознания новых объектов: понятий, утверждений, правил вывода, алгоритмов, функций и пр. Здесь осознание понимается как логическое обоснование существования вновь введенных понятий и утверждений. Всякий процесс имеет свой сценарий, в том числе и обучение. Рассмотрим последовательность шагов обучения, к которым прибегает преподаватель, начиная с простого, переходя к сложному, и сохраняя семантическую и логическую преемственность излагаемого материала. Основная цель этого – выделить главное в формировании знаний с целью выделения главных приемов, без которых невозможна передача знаний, т.е. обучение.
1.       Исходно вводятся термины-константы - суть составные части суждений. Например, обозначаются термины: «треугольник», «параллелограмм», «последовательность», «отображение», «переменная», «программа», «оперативная память» и пр. Здесь они играют роль меток, используемых затем в определениях для превращения в понятия. Их усвоение требует только запоминания. Однако без этого невозможно начать обучение как передачу знаний.
2.       Новые понятия определяются через известные. В результате термины превращаются в понятия, т.е. получают формальное или содержательное определение. После этого можно говорить о понятиях «треугольник», «параллелограмм», «отображение», «программные переменные» и пр. Их определение предполагает логическую взаимосвязь терминов. Пример: программная переменная характеризуется уникальными именем, типом, адресом в памяти компьютера и значением в каждый момент времени. Если задано имя переменной все остальные параметры восстанавливаются однозначно. С другой стороны в программе нас интересует значение, которое она приобретает во время вычисления и адрес, по которому она располагается.
3.       Затем вводятся базисные элементарные действия и атомарные отношения. Например, определяются операции объединения множеств, отношение включения элемента в множество, включения множеств, равенства чисел, арифметические и логические операции и пр. В данном случае действие также предполагает фиксацию логических взаимосвязей понятий в определении, наподобие того, как это делалось при их определении.
4.       Вводятся формулировки аксиом, утверждений, правил, процедур, суждений, законов, используя введенные базисные термины. При этом предполагается наличие контекста, в который эти единицы знаний погружаются, тем самым обеспечивая их зависимость от контекста. Каждая вновь введенный на этом этапе объект требует своего обоснования, не обязательно формально-логического. В данном случае обоснование может быть и содержательным, например, с упоминанием большого числа частных случаев. Однако обоснование не должно нарушать логические законы. Например, аксиому о параллельных прямых в геометрии можно ввести как обобщение ряда конкретных примеров с параллельными прямыми. Очевидно, что в данном случае логический механизм является основным.
5.       Используя логические умозаключения и базисные утверждения, расширяется множество истинных высказываний: теорем, лемм, правил, законов, методов и т.п. Это позволяет, в том числе, вводить новые понятия, например, путем доказательства утверждений о существовании единственного объекта с определенными свойствами. Используемые в данном случае умозаключения сами усвоены на предыдущем этапе обучения. В результате все введенные утверждения приобретают формальные или содержательные доказательства. Роль логического аппарата в данном случае очевидна, на нем базируется вывод новых суждений, высказываний и т.п.
6.       После этого может осуществиться обобщение введенных ранее единичных утверждений, используя рассуждения, например, по индукции. Так доказательство значения бесконечной суммы основывается на промежуточных значениях; а отладка программы на представительном множестве тестов позволяет предположить, что программа работает на любом входном наборе. Обобщение основывается на логических умозаключениях, позволяющих перейти от гипотетического общего результата к фактическому общему суждению.
7.       Мы здесь не рассматриваем установление метапредметных связей путем обобщения знаний отдельных предметных областей. Например, исследование законов биологии и химии привело к новой дисциплине – биохимии, в которой методы химии применяются для изучения биологических объектов. Использование методов информационного взаимодействия для построения моделей разумного поведения привело к появлению нового направления - Искусственного Интеллекта. Эти приемы получения новых знаний требуют особого анализа, который выходит за рамки данной статьи.
Нетрудно видеть, что, игнорируя некоторые частности, перечислены все приемы формирования знаний при обучении (напомним, что обучение здесь подразумевается как передача знаний от педагога учащемуся). И все этапы формирования знаний основаны на использовании логических конструкций. Тем самым, основной механизм формирования знаний состоит в построении логически обоснованных умозаключений. Из этого следует необходимость исследования логических приемов их формирования, чтобы понять в каком случае оно наиболее эффективно.
Передача знаний педагогом студентам осуществляется суждениями, которые выводятся педагогом из собственного контекста. Под контекстом субъекта здесь понимается совокупность высказываний, которыми он обосновывает собственные суждение. В данном случае мы имеем два контекста: преподавателя и учащегося. Суждение, услышанное учащимся, погружается в его собственный контекст, представляющий собой совокупность высказываний, которые одновременно с сообщением суть посылки его умозаключений. Таким образом, взаимодействие преподавателя и учащегося можно мыслить, как взаимодействие двух умозаключений: обосновывающего сообщение и умозаключения учащегося, использующего сообщение, наряду с собственным контекстом, в качестве посылки. Если суждения преподавателя можно рассматривать как результат умозаключений из его контекста, то включение этого суждения в контекст учащегося требует не только логических построений, но и привлечения психических процессов, связанных с расширением собственного контекста. Учащийся включает суждение преподавателя, т.е. это суждение становится частью его контекста, лишь в случае, если оно не противоречит уже существующему контексту, а также обладает логическим обоснованием. В противном случае он может запомнить это суждение, однако это не значит, что в его представлении оно будет иметь хорошее обоснование.
Тут мы впервые сталкиваемся с таким явлением, как информация, извлекаемая учащимся из сообщения. Само сообщение – это лишь текст, воспринимаемый субъектом. Однако, помимо внешней стороны (формулировки) имеется еще некоторая (срытая) часть, которая и представляет собой знание, позволяющее расширить контекст учащегося.
Пример. Рассмотрим процесс усвоения учащимся теоремы о том, что сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату гипотенузы, которая устанавливает конкретные соотношения между понятиями (здесь: катеты, гипотенуза и арифметические операции). Именно эти соотношения вызывают в сознании учащегося ассоциации с его контекстом. Однако это не снимает неопределенности, которой обладает утверждение, т.к. самостоятельно доказать равенство суммы квадратов катетов и квадрата гипотенузы учащийся не может. Именно упоминаемое равенство есть основной источник неопределенности. Его можно заменить на отношение больше, меньше и т.п. Однако, приводимое преподавателем доказательство, если оно понимается учащимся, устраняет эту неопределенность и теорема становится частью контекста учащегося. Таким образом, исходная неопределенность утверждения устраняется лишь после интеллектуального усилия, связанного с осознанием его доказательства. В следующем разделе мы более подробно остановимся на том, как следует понимать содержательную неопределенность, и каковы приемы ее устранения.
3. Содержательная информация. Суждения преподавателя, как правило, имеют содержательный характер и формулируются с использованием известных терминов. Обычно содержательная информация передается источником в виде сообщения на понятном приемнику языке, и используется им для последующего построения умозаключений. Их вид определяется целями приемника, в связи с чем варьируется извлекаемая из сообщения информация. Если сообщение не используется приемником для умозаключений, то такие сообщения можно не рассматривать.
Однако, сообщение не единственный компонент, используемый приемником и учитываемый им для его понимания, т.е. извлечения из него необходимой информации. Само сообщение является открытой частью, однако у него присутствует часть, определяемая контекстом источника, который им подразумевается, и принимается приемником. Открытая и скрытая части сообщения образуют полное сообщение источника (назовем его посланием). Если умозаключение, основанное на контексте источника, приемником отвергается, то им отвергается и сообщение. В случае принятия умозаключения источника сообщение принимается и может использоваться приемником как посылка собственных умозаключений. Т.е. пополнить его активный контекст.
В таком виде сообщение имеет вспомогательный характер, т.к. после его обоснования, получается доказательство, с которым знакомится приемник, тем самым приобретая дополнительную информацию. Поэтому сообщение можно рассматривать как след собственного обоснования, которое, в свою очередь, используется приемником для построения умозаключений. В связи с этим возникает задача измерения информации передаваемого сообщения, учитывая возможность его использования приемником в качестве посылки умозаключения и наличие скрытой части, которая при необходимости восстанавливается приемником. Чтобы сообщение обладало неопределенностью, ему должно предшествовать обоснование, посылками которого служат высказывания контекста источника. Для устранения неопределенности сообщения приемник, либо восстанавливает, либо просто принимает его обоснование, хотя последнего может не знать. Не принимая сообщения, приемник, тем самым, отвергает его обоснование. Таким образом, основным приемом сделать сообщение убедительным для приемника, т.е. ликвидировать его неопределенность, - это знакомство с его обоснованием, полученным с использованием контекста источника.
В связи с этим обратим внимание на особенности логического вывода в плане сохранения достоверности информации и устранения неопределённости. Если имеется доказательство конкретного утверждения, посылки которого принимаются верными, то логический вывод обеспечивает достоверность заключения с точностью до достоверности посылок. Поэтому в сообщении неопределенности не более, чем неопределенности в посылках его обоснования, т.к. правила вывода приводят к верным заключениям из безусловно принятых посылок. Например, мы вводим понятие множества как безусловно верное, из чего выводятся известные теоретико-множественные соотношения. Поэтому, неопределенность доказанных в теории множеств утверждений не более, чем неопределенность введенного понятия множества. Любое другое логически выведенное утверждение также обладает неопределенностью не большей, чем неопределенность посылок вывода. Поэтому примем, что неопределенность логически обоснованного заключения совпадает с неопределенностью посылок обоснования.
Замечание. Сейчас мы обсуждаем проблему на содержательном уровне, чтобы подготовить материал для последующих формальных конструкций.
Процесс обучения связан непосредственно с пополнением знаний, т.е. устранением неопределенности суждений, с которыми знакомится учащийся. Так одно и то же утверждение в начале обучения может восприниматься учащимся как загадочное и не имеющее для него никакого смысла. Однако после обучения, оно им вполне принимается и более того, становится частью его активного контекста, к которому он обращается, например, при выполнении самостоятельных заданий. Т.е. происходит устранение первоначальной неопределенности этого утверждения. В этом разделе мы рассмотрим, какие типы содержательной неопределенности могут встретиться в процессе обучения и в чем состоит ее устранение.
Анализ показывает, что неопределенность содержательных суждений может проявляться в двух случаях.
1.       Рассмотрим задание на самостоятельное выполнение конкретного примера. Обычно это сводится к восстановлению конкретных значений, которые должны быть помещены на некоторых местах (слотах) выражения. Это могут быть: конкретные числовые или символьные константы, определенные отношения или функции (например, равенство, включение множеств, арифметическая или логическая функции). Незаполненные места выражения определяют его неопределенность, а снятие неопределенности состоит в их заполнении конкретными значениями. Очевидно, что заполнение слотов невозможно без определенного интеллектуального усилия, затрат психической энергии. Если отбросить такую возможность, как озарение, то можно предположить, что заполнение есть результат логических умозаключений. Во всяком случае, если рассматриваются знания, связанные с точными науками. В результате имеем, что для снятия неопределенности выражений с незаполненными слотами, необходимы логические умозаключения, обосновывающие подстановки соответствующих значений в конкретные слоты.
Пример. Рассмотрим задачу восстановления различных цифр вместо разных букв в таком выражении: . Заполнению каждого слота в примере предшествует логическое обоснование. Например, из того, что перенос при сложении двух цифр не может быть больше единицы, следует, что П = 1. Далее, обоснование подстановок цифр вместо букв осуществляется путем разбора случаев для каждой пары соответствующих букв слагаемых. В итоге получаем . Если в исходной формулировке не было заполнено ни одного слота, то в решении – заполнены все. Тем самым исходное выражение обладало неопределенностью, которая была устранена путем логических рассуждений.
2.       Следующий вид выражений, которые также обладают неопределенностью, но не столь очевидной как в первом случае, – это суждения, которыми один собеседник передает свои знания другому. В данном случае неопределенность определяется иначе, чем незаполненными слотами. На первый взгляд, в таких суждениях нет незаполненных мест, там все определено. Например, это может быть теорема, которую учащиеся исходно не знают, но после ее доказательства преподавателем, она понимается и поэтому становится частью их активных знаний. Естественно возникает вопрос, как можно связать неопределенность с такими утверждениями. Как представляется, в данном случае мы можем говорить о неопределенности в следующем смысле.
Озвученное преподавателем и воспринимаемое учащимся суждение, может быть воспринято, с одной стороны, как догма, а с другой – как утверждение, требующее обоснования. Догма предполагает веру, доказательство - требует умозаключения. В вере нет неопределенности, неопределенность возникает только при восстановлении некоторого отсутствующего объекта. Следовательно, неопределенность суждения преподавателя связана с его неизвестным обоснованием. Если доказательство восстановить, то тем самым неопределенность снимается. Однако, возникает вопрос, как сводится неопределенность этого типа к неопределенности первого типа, определяемой незаполненными слотами. Это легко сделать, если обратить внимание, что в каждом доказываемом утверждение обосновывается некоторое отношение между входящими в него понятиями. Поэтому приняв, что исходно это отношение не известно, можно свести доказательство утверждения к обоснованию подстановки искомого отношения. Т.е. и в данном случае присутствует незаполненный слот, который предполагает подстановку на его месте конкретного отношения. В простейшем случае это может быть равенство, включение множеств, принадлежности элемента множеству и т.п., т.е. атомарные отношения. В более сложном это может быть многозначное отношение, содержащее более двух аргументов. Как видно, и в этом случае снятие неопределенности связано с обоснованием подстановки объекта, т.е. построением логического вывода.
Итак, принимаем, что неопределенность сообщения определяется слотами, в которые необходимо подставлять конкретные лингвистические конструкции: числовые или символьные константы, функции или отношения, аргументы которых присутствуют в самом сообщении. Пока не давая точного определения неопределенности сообщения, примем ее такую содержательную формулировку. Тогда устранение неопределенности сводится к доказательству тех или иных подстановок в слоты. В соответствии с теорией информации устраняемая неопределенность равна информации, которую сообщение несет после ее устранения. Но устранение неопределенности связано с логическим обоснованием подстановки в слоты. Таким образом, получаем, что информация сообщения после заполнения слотов определяется восстановленным доказательством.
Введем меру информации сообщения, как связанную с его обоснованием, не представленном в нем, но принимаемой обеими сторонами, и без которой оно не может использоваться приемником в качестве посылки умозаключений. Т.е. не может стать частью его активных знаний.
Пример. Каждый нечетный звонок в учебном заведении есть сигнал начала урока, а каждый четный – его окончания. Сам сигнал не сообщает, что урок начинается или заканчивается, но услышавшим его студентам и преподавателям, в силу договоренности (контекста), понятно его значение. Если известно, что пятый звонок – это сигнал открытия буфета со свежими плюшками, то он несет больше информации, чем деление звонков на четные и нечетные.
Пример. Если мы рассматриваем компьютерную программу, состоящую только из базисных команд, то она не имеет неопределенности. Но если в программе присутствуют неизвестные библиотечные модули, то она обладает неопределенностью, т.к. реализуемая модулем функция принимается по договоренности, в силу отсутствия его текста. И устранение неопределенности путем знакомства с текстом библиотечных программы, увеличивает информативность программы.
Примем, как это делается в Теории информации, что информация сообщения равна его устраняемой неопределенности. Принятие сообщения приемником есть устранение его неопределенности, т.е. принятие его обоснования. Поэтому сообщение имеет большую ценность, если оно короткое, но обладает сложным обоснованием. Эту точку зрения примем в наших рассуждениях: информативность сообщения больше, если оно кодирует большую, но скрытую для приемника часть обоснования, т.е. обладает большей неопределенностью. Устранение неопределенности сообщения и представляет собой извлечение полной информации из него.
Итак, неопределенность сообщения определяется сложностью его обоснования источником, не представленном в самом сообщении, но без которого приемнику невозможно использовать его в собственных умозаключениях. И чем сложнее обоснование, тем сложнее его восстановление, тем больше неопределенность сообщения. Действительно, обоснование сообщения известно источнику, но неизвестно приемнику. Поэтому оно определяет его неопределенность, после устранения которой сообщение не вызывает сомнений, т.к. полностью доказано. Приняв, в соответствии с Теорией информации, что устраняемая неопределенность равна переданной информации, последние рассуждения обосновывают высказанную точку зрения на информацию, извлекаемую из сообщения. Извлекаемая информация определяется восстанавливаемым доказательством и чем больше это доказательство, тем больше извлекается информации. Однако, приведенные рассуждения носят лишь иллюстративный характер, при формальном анализе проблемы содержательной информации ситуация выглядит несколько иначе.
Замечание. Мы не рассматриваем вопросы неоднозначности терминов, что также вносит неопределенность в общение источника и приемника.
4.       Правило сечения, как канал передачи информации. Термин «содержательная информация» требует уточнения, для чего необходим подходящий для этого формализм. Цель такой формализации состоит в точной оценке неопределенности суждения источника, и обосновании высказанного тезиса, что извлекаемая из сообщения информация совпадает с устранимой неопределенностью. Чтобы обосновать вводимый далее формализм, рассмотрим следующую ситуацию.
Преподаватель обладает контекстом (обозначим его G), из которого выводятся все утверждения контекста учащегося, потому что все знания учащийся получает в учебном процессе от преподавателя. Однако, в настоящий момент учащемуся не хватает знаний чтобы решить конкретную задачу (обозначим ее D). Поэтому преподаватель должен передать определенное сообщение (обозначим C), следующее из его контекста (обозначается G®C), и из которого вытекает решение задачи D (обозначается C®D). После этого учащийся встраивает это сообщение в свой активный контекст, расширяя возможности применения своих знаний.
Приведем формальный аналог приведенных содержательных рассуждений. То, что преподаватель сообщает учащемуся новое сообщение, которое выводится из его контекста (G®C), т.к. всякое сообщение преподавателя является следствием его контекста. Преподаватель в состоянии решить задачу D (G®D), т.к. всякое применение своих знаний преподавателем для решения задачи предполагает выводимость этой задачи из контекста. Наконец, то, что учащийся после включения сообщения C в свой контекст в состоянии решить задачу D (C®D). В результате обучение сводится к передаче информации в виде сообщения от преподавателя (источника) учащемуся (приемнику). Получаем, что пополнение контекста учащегося сообщением C, используемого им для решения задачи D, формально представляется двумя следствиями G®C и C®D, из чего логически следует возможность решить эту задачу преподавателем (следование G®D). Поэтому используем формализм секвенциального исчисления, в котором есть удобное средство для имитации передачи информации, как это подразумевалось выше. Имеется в виду правило сечения, которое будем рассматривать в упрощенном виде

G®C C®D

G®D

где G, D - множества формул, C есть формула сечения [1]. Секвенции G®C и C®D суть посылки правила, G®D - заключение и каждой посылке предшествует вывод. Будем рассматривать это правило как канал передачи информации между выводами посылок, а формулу сечения C как сообщение, используемое для построения окончательного доказательства секвенции G®D. Тогда доказательство левой посылки есть обоснование заключения C. Последнее используется приемником как посылка при доказательстве секвенции C®D (т.е. решении задачи D). Совмещая доказательства источника и приемника, получаем доказательство секвенции G®D (возможность решения задачи D преподавателем).
При такой трактовке правило сечения выступает формальным аналогом передачи сообщения от источника приемнику. В данном контексте нельзя рассматривать правило сечения в отрыве от выводов его посылок. Оно связывает два вывода: в одном выводится заключение C из посылок G, в другом C используется в качестве посылки для обоснования заключения D. Тем самым, C выступает как сообщение от источника (здесь: левая посылка правила сечения) приемнику (здесь: правой посылке).
Основная высказываемая здесь идея заключается в трактовке правила сечения как канала передачи информации между выводами его посылок. Идея достаточно естественная, так как формула сечения в одном случае есть заключение умозаключения, а в другом – посылка. Правило сечения есть связующее звено двух выводов, а формула сечения – сообщение от источника (левой посылки) приемнику (правой посылке). Источник обосновывает сообщение, а приемник использует его как посылку в выводе.
Налицо два компонента передаваемого сообщения. Его открытая часть – это формула сечения, передаваемая информация этого компонента – сама формула. Второй компонент – скрытый, он формирует неопределенность сообщения, связанную с доказательством секвенции G®C. Приведем обоснование такой трактовки правила сечения.
Левая формула сечения, являясь заключением условного высказывания, в общем случае, содержит меньше переменных, нежели его посылка (Var(C) Í Var(G®C)). Поэтому она может рассматриваться как кодирование доказательства посылки G®C, т.к. некоторые его части не проявляется в формуле C.
Пример. Здесь просматривается аналогия с использованием лемм в математике. Лемма (здесь формула сечения) может быть короткой, но обладать громоздким доказательством, и ее формулировка может иметь к этому доказательству лишь опосредованное отношение, т.к. в доказательстве используются термины, не встречающиеся в лемме. А извлечение полной информации из леммы возможно лишь при восстановлении ее полного доказательства. Только в этом случае можно говорить, что лемма не обладает неопределенностью, т.к. она полностью обоснована, исходя из ранее принятых утверждений.