Библиографическое описание:
Антропова Г.Г.Возможности применения индивидуального подхода на уроках математики в начальной школе // Образовательный альманах. 2023. № 1 (63). Часть 1. URL: https://f.almanah.su/2023/63-1.pdf
Математические знания служат средством интеллектуального развития ребенка, его познавательных и творческих способностей. В ходе математического развития у младших школьников формируются психические функции и процессы, совершенствуется наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление. Математическая подготовка дает младшему школьнику возможность правильно воспринимать окружающий мир, ориентироваться в нем, выполнять элементарные арифметические действия в игровой, трудовой, конструктивной, изобразительной, бытовой деятельности.
Уже на начальном этапе обучения детей счёту, арифметическим действиям по различным причинам могут возникать трудности в овладении счётными навыками, среди которых выделяется специфическое стойкое нарушение в овладении счетными операциями − дискалькулия. В исследованиях, посвящённых изучению дискалькулии, подчёркивается сложность причин и механизмов данного нарушения, его стойкость и трудность преодоления. К имеющимся трудностям присоединяются дополнительные проблемы, которые отрицательно отражаются на личности ребёнка и на школьной жизни в целом.
Математика является, наиболее трудным для обучения детей предметом, который требует наличия определенных способностей: умения анализировать и обобщать материал; умения мыслить отвлеченно, абстрактными категориями; гибкости мышления; наличия специфической математической памяти.
Особенностью математики является высокий уровень абстракции, что обуславливает наличие своего символического языка, своего способа обоснования. Отсюда ее составляющие в начальном авторском курсе математики: арифметика (с элементами алгебры); образная геометрия; элементы комбинаторики; элементы логики. Каждая из составляющих, с одной стороны, имеет самостоятельное значение и логику развертывания, а с другой, - изучается во взаимосвязи с другими, что способствует созданию у школьников более полного представления о математике, ее пониманию и культурному освоению.
Выбор составляющих линий курса математики определяется как необходимостью пропедевтики соответствующих разделов математики. Изучение геометрии в большей степени связано с развитием пространственного мышления; изучение арифметики и элементов логики требует большей алгоритмизации и формализации мыслительной деятельности; изучение комбинаторики способствует развитию вариативности, критичности мышления.
Ведущие линии (арифметическая и геометрическая) равноправны, они закладывают основу изучения двух математических областей и способствуют развитию разных психических структур. Две другие линии в большей степени выполняют пропедевтические функции: готовят учащихся к усвоению в основной школе таких разделов, как «Логика» и «Комбинаторика» и к изучению арифметического, алгебраического и геометрического материала.
Осознание ребенком ценности математического знания (для изучения других предметов, для собственного развития, в качестве интеллектуального ресурса решения жизненных задач) достигается через привлечение знаний из других школьных дисциплин, показ зависимости выбора решения рассматриваемой ситуации (задачи) от конкретных условий, выбор наиболее рационального способа решения задачи и др. В результате развивается способность применять математические знания в новой жизненной ситуации, что является признаком присвоения специфических для математики способов деятельности. Данная способность обеспечивает приобретение новых знаний, их преобразование и применение, способствует формированию современной научной картины мира.
Для курса математики основным является системно-деятельностный подход, согласно которому обучение математике организуется как учебная деятельность школьников на математическом содержании.
При обучении математике необходимо учитывать специфические черты науки математики: оперирование абстракциями высокого уровня и наличие собственного языка, отличного от естественного. Поэтому реализация принципов обучения, сформулированных в курсе обучения математике, имеет свои особенности.
Принцип диалогизации при обучении математике реализуется с двух позиций: а) становление и развитие математической речи, на базе которой возможна равноправность участников диалога в поиске решения, стремление к взаимопониманию, порождению смысла, а не получение заранее известной суммы знаний и б) развитие коммуникативных умений.
В начальных классах ученики знакомятся с основными элементами алфавита школьной математики, включающего различные математические языки (знаковые системы): естественный язык (слова родного языка, научные термины), графический язык (схемы, чертежи), символический язык (логико-математические символы). Усвоение каждого из названных языков и умение переводить текст с одного языка на другой способствуют пониманию математики, являясь признаками математической культуры.
Поэтому в текстах учебников математики предлагаются разного рода памятки, которые являются образцами математической речи; специальные задания, которые способствуют усвоению основ математического, графического, символического языков, овладению правилами построения из них различных конструкций, выявлению их содержательного смысла.
Для развития коммуникативных умений важно использование различных форм организации учебного процесса: дискуссии, работа в паре постоянного состава, в паре сменного состава, КСО, работа над проектом, проведение мини исследования и др.
В процесс обучения математике принцип вариативности реализуется через учебную и психологическую дифференциацию. С позиций учебной дифференциации вариативность относится к содержанию заданий (задания отличаются по степени сложности, по объему), самостоятельности выполнения, методам и средствам обучения. С позиций психологической дифференциации задания в учебнике отличаются по способу восприятия и их выполнения - для слухового (аудиального) восприятия, зрительного (визуального), двигательного (кинестетического).
Осуществляется учет всех составляющих субъектного опыта ребенка как ценности и базовой ступени присвоения общественноисторического опыта в области математики на всех этапах обучения, как условия понимания себя и других, выявление и окультуривание субъектного опыта ребенка.
Начальный этап изучения математики в школе рассматривается как базовый в процессе математического развития школьников, поскольку именно в этот период математика впервые становится предметом систематического изучения, закладывается основа для понимания математических абстракций, поэтому особую значимость приобретает принцип преемственности и перспективности в обучении.
Данный принцип реализуется в содержательном и в развивающем аспектах. Содержательный аспект направлен на расширение и углубление знаний и умений, их поступательное развертывание.
Изучение курса математики организовано по спирали: вопросы программы рассматриваются неоднократно, каждый раз на более высоком уровне. Содержание учебного материала представляет собой не набор отдельных сведений из разных областей математики, а взаимосвязанную последовательность тем.
Развивающий аспект рассматриваемого принципа включает создание условий для установления самим учеником взаимосвязи между старым и новым опытом, что способствует преобразованию отдельных умений ученика в новое интегративное умение. К таким условиям относятся выполнение заданий рефлексивного характера, обеспечивающих осознание учениками причин возникающих трудностей, заданий не только из зоны ближайшего, но перспективного развития («будущая задача»), поиск и обсуждение ошибок, поиск условий применимости правила и т.д. Кроме того, ребенок приходит в школу, обладая определенным жизненным опытом, начальными математическими знаниями, которые носят житейский характер. Учет субъектного опыта, способа восприятия мира, использование разных каналов получения информации при выполнении одних и тех же заданий в процессе обучения математике способствуют преобразованию житейских понятий в теоретическое знание, его обогащение.
В связи с высоким уровнем абстракции математического знания специфическим для обучения математики является принцип приоритета понимания над запоминанием, который тесно связан с принципом преемственности и перспективности.
Благодаря конкретным примерам ребенок связывает новое математическое знание с некоторыми фактами, уже имеющимися в его опыте, т.е. переводит научное понятие на собственный язык (вводит в свой субъектный опыт). Рассмотрение перцептивного пространства в процессе изучения математики позволяет создать базу (преимущественно на уровне обобщенных представлений) для ознакомления ученика с наукой математикой.
Необходимость учёта индивидуальных особенностей учащихся в процессе обучения является приоритетным в педагогической психологии, дидактике и методике. Все дети разные, поэтому каждый учитель знает, что на уроке необходим индивидуальный подход к каждому ученику. Именно тогда создаются необходимые условия для максимально полного всестороннего развития ребёнка, возникает комфортная для каждого учащегося образовательная среда, находят своё решение многие проблемы неуспевающих школьников.
Способствовать достижению младшими школьника как метапредметных, так и предметных результатов при изучении математики могут электронные образовательные ресурсы.
Поскольку младшие школьники имеют различный уровень подготовки по математике, неодинаковые успехи в усвоении знаний, умений и навыков, проявляют различный интерес к учебному предмету, то реализация индивидуального подхода на уроках математики осуществляется через средства обучения. В качестве основных средств обучения математики выступают: методические комплекты, карточки, самостоятельные работы, тестовые задания.
Специально отбираемые задания должны быть ориентированы на: постепенное усложнение материала, поэтапное увеличение объёма работы, повышение уровня самостоятельности учащегося, обучение способам рассуждения с учётом принципа вариативности задач формирование беглости мыслей, оригинальность, гибкость ума, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.
Одним из эффективных средств обучения математике в начальной школе является применение средств наглядности, поскольку одной из основных задач обучения математике детей с задержкой психического развития является развитие навыков отвлеченного мышления. Однако оно не может возникнуть без конкретного образа. Благодаря средствам наглядности формируются конкретные представления. С помощью наглядности развивается сенсорный опыт учащихся, а это есть предпосылка и условие формирования наглядно-образного мышления. Сформированные представления служат базой для развития абстрактного мышления.
Дети младшего школьного возраста легко усваивают лишь то, что они могут непосредственно воспринять, и чем больше анализаторов будет участвовать в этом восприятии, тем легче и прочнее будет усвоение. Поэтому в начальных классах наглядные пособия играют особенно большую роль. В учебном процессе учитель демонстрирует самые разнообразные виды наглядных пособий: предметы (книги, конверты, карандаши, открытки и т.д.), модели предметов, таблицы, природный материал. Многие из этих пособий могут быть использованы на уроках как раздаточный материал.
К современному периоду относится выход программы и учебников математики для 1-4 классов в УМК «Диалог», в авторский коллектив которых входят доценты кафедры НЕМО О.А. Ивашова и Е.Е. Останина. Одной из особенностей курса математики является использование и уровневой, и психологической дифференциации, которые являются основой индивидуального подхода.
В программе в 2-х уровнях сформулированы требования к предметным результатам обучения математике не только к окончанию начальной школы (как ориентирует ФГОС НОО), но и концу каждого учебного года. Содержание 2-го уровня является ориентиром на следующий учебный год, работу с ним учитель ведет в течение всего года, но не требует его усвоения от всех учащихся. Кроме того, в программе охарактеризованы 4 уровня достижения метапредметных результатов обучения (низкий, опорный, повышенный, перспективный).
В учебниках математики уровневая дифференциация реализуется через задания, отличающиеся по степени сложности, по объему, по самостоятельности выполнения. Ученику периодически предоставляется право выбора задания, средства и способа выполнения и/или контроля. В учебниках имеется постоянная рубрика «Выбери, выполни, поделись с другими».
Важной особенностью учебников математики является реализация идеи психологической дифференциации. Особенность разработанного авторами курса состоит в том, что в учебниках учитываются разные виды восприятия и переработки информации: слуховое (аудиальное) восприятие, зрительное (визуальное), двигательное (кинестетическое). Для этого предусмотрены задания со специальными значками, что дает возможность каждому ученику воспринять и понять новую математическую информацию. На этапе ознакомления новый материал связан с какими-то реальными практическими действиями, представлен зрительно, проговорен вслух каждым учеником. Например, при решении задачи «Дети посадили 12 кустов клубники по 3 куста в каждом ряду. Сколько рядов клубники получилось?» учащиеся практически действуют с моделями чисел (раскладывают палочки по 3), видят, как эти действия представлены на рисунке (схематический чертеж), как они преобразуются в записи, в словесные формулировки. Эта идея была представлена авторами в учебниках математики уже в 2009 г. (издательство «Дрофа»).
К современному периоду относится разработка О.А. Граничиной и О.А. Ивашовой идей и математических материалов Всероссийской дистанционной метапредметной олимпиады для младших школьников «Новые знания», направленной на диагностику сформированности универсальных учебных действий (УУД). Первой особенностью олимпиады (реализованной Центром независимых педагогических измерений «ЭффектТест»), является ее метапредметный характер. Индивидуально-дифференцированный подход к младшим школьникам был связан с достижением не столько предметных результатов, сколько с формированием познавательных УУД (проверялось на четырех предметных областях: математика, русский язык, окружающий мир, литературное чтение). Вторая особенность олимпиады – дистанционная форма, которая расширила возможности работы с одаренными детьми, живущими в разных уголках России, в том числе удаленных (в первой олимпиаде участвовало около 109 000 младших школьников).
Подводя итог, можно отметить, что методисты-математики на протяжении десятилетий, отвечая велениям времени, развивали идеи внешней и внутренней дифференциации в обучении младших школьников. Важно, что методические идеи были не только апробированы в научных исследованиях (преподавателей, студентов, магистрантов и учителей), но и реализованы в учебниках математики для массовой начальной школы, в учебных пособиях для учащихся, в электронных образовательных ресурсах, в том числе в дистанционных олимпиадах. Большое внимание в течение многих лет уделялось работе с детьми, интересующимися математикой.
Антропова Г.Г.Возможности применения индивидуального подхода на уроках математики в начальной школе // Образовательный альманах. 2023. № 1 (63). Часть 1. URL: https://f.almanah.su/2023/63-1.pdf
Математические знания служат средством интеллектуального развития ребенка, его познавательных и творческих способностей. В ходе математического развития у младших школьников формируются психические функции и процессы, совершенствуется наглядно-действенное, наглядно-образное и словесно-логическое мышление. Математическая подготовка дает младшему школьнику возможность правильно воспринимать окружающий мир, ориентироваться в нем, выполнять элементарные арифметические действия в игровой, трудовой, конструктивной, изобразительной, бытовой деятельности.
Уже на начальном этапе обучения детей счёту, арифметическим действиям по различным причинам могут возникать трудности в овладении счётными навыками, среди которых выделяется специфическое стойкое нарушение в овладении счетными операциями − дискалькулия. В исследованиях, посвящённых изучению дискалькулии, подчёркивается сложность причин и механизмов данного нарушения, его стойкость и трудность преодоления. К имеющимся трудностям присоединяются дополнительные проблемы, которые отрицательно отражаются на личности ребёнка и на школьной жизни в целом.
Математика является, наиболее трудным для обучения детей предметом, который требует наличия определенных способностей: умения анализировать и обобщать материал; умения мыслить отвлеченно, абстрактными категориями; гибкости мышления; наличия специфической математической памяти.
Особенностью математики является высокий уровень абстракции, что обуславливает наличие своего символического языка, своего способа обоснования. Отсюда ее составляющие в начальном авторском курсе математики: арифметика (с элементами алгебры); образная геометрия; элементы комбинаторики; элементы логики. Каждая из составляющих, с одной стороны, имеет самостоятельное значение и логику развертывания, а с другой, - изучается во взаимосвязи с другими, что способствует созданию у школьников более полного представления о математике, ее пониманию и культурному освоению.
Выбор составляющих линий курса математики определяется как необходимостью пропедевтики соответствующих разделов математики. Изучение геометрии в большей степени связано с развитием пространственного мышления; изучение арифметики и элементов логики требует большей алгоритмизации и формализации мыслительной деятельности; изучение комбинаторики способствует развитию вариативности, критичности мышления.
Ведущие линии (арифметическая и геометрическая) равноправны, они закладывают основу изучения двух математических областей и способствуют развитию разных психических структур. Две другие линии в большей степени выполняют пропедевтические функции: готовят учащихся к усвоению в основной школе таких разделов, как «Логика» и «Комбинаторика» и к изучению арифметического, алгебраического и геометрического материала.
Осознание ребенком ценности математического знания (для изучения других предметов, для собственного развития, в качестве интеллектуального ресурса решения жизненных задач) достигается через привлечение знаний из других школьных дисциплин, показ зависимости выбора решения рассматриваемой ситуации (задачи) от конкретных условий, выбор наиболее рационального способа решения задачи и др. В результате развивается способность применять математические знания в новой жизненной ситуации, что является признаком присвоения специфических для математики способов деятельности. Данная способность обеспечивает приобретение новых знаний, их преобразование и применение, способствует формированию современной научной картины мира.
Для курса математики основным является системно-деятельностный подход, согласно которому обучение математике организуется как учебная деятельность школьников на математическом содержании.
При обучении математике необходимо учитывать специфические черты науки математики: оперирование абстракциями высокого уровня и наличие собственного языка, отличного от естественного. Поэтому реализация принципов обучения, сформулированных в курсе обучения математике, имеет свои особенности.
Принцип диалогизации при обучении математике реализуется с двух позиций: а) становление и развитие математической речи, на базе которой возможна равноправность участников диалога в поиске решения, стремление к взаимопониманию, порождению смысла, а не получение заранее известной суммы знаний и б) развитие коммуникативных умений.
В начальных классах ученики знакомятся с основными элементами алфавита школьной математики, включающего различные математические языки (знаковые системы): естественный язык (слова родного языка, научные термины), графический язык (схемы, чертежи), символический язык (логико-математические символы). Усвоение каждого из названных языков и умение переводить текст с одного языка на другой способствуют пониманию математики, являясь признаками математической культуры.
Поэтому в текстах учебников математики предлагаются разного рода памятки, которые являются образцами математической речи; специальные задания, которые способствуют усвоению основ математического, графического, символического языков, овладению правилами построения из них различных конструкций, выявлению их содержательного смысла.
Для развития коммуникативных умений важно использование различных форм организации учебного процесса: дискуссии, работа в паре постоянного состава, в паре сменного состава, КСО, работа над проектом, проведение мини исследования и др.
В процесс обучения математике принцип вариативности реализуется через учебную и психологическую дифференциацию. С позиций учебной дифференциации вариативность относится к содержанию заданий (задания отличаются по степени сложности, по объему), самостоятельности выполнения, методам и средствам обучения. С позиций психологической дифференциации задания в учебнике отличаются по способу восприятия и их выполнения - для слухового (аудиального) восприятия, зрительного (визуального), двигательного (кинестетического).
Осуществляется учет всех составляющих субъектного опыта ребенка как ценности и базовой ступени присвоения общественноисторического опыта в области математики на всех этапах обучения, как условия понимания себя и других, выявление и окультуривание субъектного опыта ребенка.
Начальный этап изучения математики в школе рассматривается как базовый в процессе математического развития школьников, поскольку именно в этот период математика впервые становится предметом систематического изучения, закладывается основа для понимания математических абстракций, поэтому особую значимость приобретает принцип преемственности и перспективности в обучении.
Данный принцип реализуется в содержательном и в развивающем аспектах. Содержательный аспект направлен на расширение и углубление знаний и умений, их поступательное развертывание.
Изучение курса математики организовано по спирали: вопросы программы рассматриваются неоднократно, каждый раз на более высоком уровне. Содержание учебного материала представляет собой не набор отдельных сведений из разных областей математики, а взаимосвязанную последовательность тем.
Развивающий аспект рассматриваемого принципа включает создание условий для установления самим учеником взаимосвязи между старым и новым опытом, что способствует преобразованию отдельных умений ученика в новое интегративное умение. К таким условиям относятся выполнение заданий рефлексивного характера, обеспечивающих осознание учениками причин возникающих трудностей, заданий не только из зоны ближайшего, но перспективного развития («будущая задача»), поиск и обсуждение ошибок, поиск условий применимости правила и т.д. Кроме того, ребенок приходит в школу, обладая определенным жизненным опытом, начальными математическими знаниями, которые носят житейский характер. Учет субъектного опыта, способа восприятия мира, использование разных каналов получения информации при выполнении одних и тех же заданий в процессе обучения математике способствуют преобразованию житейских понятий в теоретическое знание, его обогащение.
В связи с высоким уровнем абстракции математического знания специфическим для обучения математики является принцип приоритета понимания над запоминанием, который тесно связан с принципом преемственности и перспективности.
Благодаря конкретным примерам ребенок связывает новое математическое знание с некоторыми фактами, уже имеющимися в его опыте, т.е. переводит научное понятие на собственный язык (вводит в свой субъектный опыт). Рассмотрение перцептивного пространства в процессе изучения математики позволяет создать базу (преимущественно на уровне обобщенных представлений) для ознакомления ученика с наукой математикой.
Необходимость учёта индивидуальных особенностей учащихся в процессе обучения является приоритетным в педагогической психологии, дидактике и методике. Все дети разные, поэтому каждый учитель знает, что на уроке необходим индивидуальный подход к каждому ученику. Именно тогда создаются необходимые условия для максимально полного всестороннего развития ребёнка, возникает комфортная для каждого учащегося образовательная среда, находят своё решение многие проблемы неуспевающих школьников.
Способствовать достижению младшими школьника как метапредметных, так и предметных результатов при изучении математики могут электронные образовательные ресурсы.
Поскольку младшие школьники имеют различный уровень подготовки по математике, неодинаковые успехи в усвоении знаний, умений и навыков, проявляют различный интерес к учебному предмету, то реализация индивидуального подхода на уроках математики осуществляется через средства обучения. В качестве основных средств обучения математики выступают: методические комплекты, карточки, самостоятельные работы, тестовые задания.
Специально отбираемые задания должны быть ориентированы на: постепенное усложнение материала, поэтапное увеличение объёма работы, повышение уровня самостоятельности учащегося, обучение способам рассуждения с учётом принципа вариативности задач формирование беглости мыслей, оригинальность, гибкость ума, любознательность, умение выдвигать и разрабатывать гипотезы.
Одним из эффективных средств обучения математике в начальной школе является применение средств наглядности, поскольку одной из основных задач обучения математике детей с задержкой психического развития является развитие навыков отвлеченного мышления. Однако оно не может возникнуть без конкретного образа. Благодаря средствам наглядности формируются конкретные представления. С помощью наглядности развивается сенсорный опыт учащихся, а это есть предпосылка и условие формирования наглядно-образного мышления. Сформированные представления служат базой для развития абстрактного мышления.
Дети младшего школьного возраста легко усваивают лишь то, что они могут непосредственно воспринять, и чем больше анализаторов будет участвовать в этом восприятии, тем легче и прочнее будет усвоение. Поэтому в начальных классах наглядные пособия играют особенно большую роль. В учебном процессе учитель демонстрирует самые разнообразные виды наглядных пособий: предметы (книги, конверты, карандаши, открытки и т.д.), модели предметов, таблицы, природный материал. Многие из этих пособий могут быть использованы на уроках как раздаточный материал.
К современному периоду относится выход программы и учебников математики для 1-4 классов в УМК «Диалог», в авторский коллектив которых входят доценты кафедры НЕМО О.А. Ивашова и Е.Е. Останина. Одной из особенностей курса математики является использование и уровневой, и психологической дифференциации, которые являются основой индивидуального подхода.
В программе в 2-х уровнях сформулированы требования к предметным результатам обучения математике не только к окончанию начальной школы (как ориентирует ФГОС НОО), но и концу каждого учебного года. Содержание 2-го уровня является ориентиром на следующий учебный год, работу с ним учитель ведет в течение всего года, но не требует его усвоения от всех учащихся. Кроме того, в программе охарактеризованы 4 уровня достижения метапредметных результатов обучения (низкий, опорный, повышенный, перспективный).
В учебниках математики уровневая дифференциация реализуется через задания, отличающиеся по степени сложности, по объему, по самостоятельности выполнения. Ученику периодически предоставляется право выбора задания, средства и способа выполнения и/или контроля. В учебниках имеется постоянная рубрика «Выбери, выполни, поделись с другими».
Важной особенностью учебников математики является реализация идеи психологической дифференциации. Особенность разработанного авторами курса состоит в том, что в учебниках учитываются разные виды восприятия и переработки информации: слуховое (аудиальное) восприятие, зрительное (визуальное), двигательное (кинестетическое). Для этого предусмотрены задания со специальными значками, что дает возможность каждому ученику воспринять и понять новую математическую информацию. На этапе ознакомления новый материал связан с какими-то реальными практическими действиями, представлен зрительно, проговорен вслух каждым учеником. Например, при решении задачи «Дети посадили 12 кустов клубники по 3 куста в каждом ряду. Сколько рядов клубники получилось?» учащиеся практически действуют с моделями чисел (раскладывают палочки по 3), видят, как эти действия представлены на рисунке (схематический чертеж), как они преобразуются в записи, в словесные формулировки. Эта идея была представлена авторами в учебниках математики уже в 2009 г. (издательство «Дрофа»).
К современному периоду относится разработка О.А. Граничиной и О.А. Ивашовой идей и математических материалов Всероссийской дистанционной метапредметной олимпиады для младших школьников «Новые знания», направленной на диагностику сформированности универсальных учебных действий (УУД). Первой особенностью олимпиады (реализованной Центром независимых педагогических измерений «ЭффектТест»), является ее метапредметный характер. Индивидуально-дифференцированный подход к младшим школьникам был связан с достижением не столько предметных результатов, сколько с формированием познавательных УУД (проверялось на четырех предметных областях: математика, русский язык, окружающий мир, литературное чтение). Вторая особенность олимпиады – дистанционная форма, которая расширила возможности работы с одаренными детьми, живущими в разных уголках России, в том числе удаленных (в первой олимпиаде участвовало около 109 000 младших школьников).
Подводя итог, можно отметить, что методисты-математики на протяжении десятилетий, отвечая велениям времени, развивали идеи внешней и внутренней дифференциации в обучении младших школьников. Важно, что методические идеи были не только апробированы в научных исследованиях (преподавателей, студентов, магистрантов и учителей), но и реализованы в учебниках математики для массовой начальной школы, в учебных пособиях для учащихся, в электронных образовательных ресурсах, в том числе в дистанционных олимпиадах. Большое внимание в течение многих лет уделялось работе с детьми, интересующимися математикой.