Оригинал материала размещен в выпуске № 10 (24) https://f.almanah.su/24.pdf
Для многих учеников геометрия на ОГЭ вызывает большие опасения, скорее всего из-за широчайшего диапазона взаимосвязей между элементами фигур и их комбинаций. Предмет очень глубокий и требует большего размаха мышления, объемных и систематизированных знаний.
Как научиться решать задачи по планиметрии? Прежде всего, конечно, необходимо обобщить и систематизировать знания по предмету. Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач. Скорее всего это связано с тем, что в отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Практически каждая задача требует «индивидуального» подхода. Поэтому я увлеклась этой темой и, изучив литературу по вопросу исследования, выделила некоторые основные приемы и методы решения планиметрических задач: поэтапно-вычислительный, алгебраический, тригонометрический, геометрический, метод вспомогательного аргумента, метод площадей, метод подобия, комбинированный метод и метод ключевых (базисных) задач.
Охватить всю геометрию сразу невозможно, поэтому в данной работе рассмотрим один метод - метод подобия.
Метод подобия применяется в задачах на построение, применяется подобие к доказательству теорем, а так же в задачах используются свойства подобных треугольников для определения длин пропорциональных отрезков.
1.«Метод подобия» при решении геометрических задач на построение заключается в следующем. Пусть даны некоторые элементы фигуры: величины углов или сами углы, её линейные элементы (отрезки или их длины, а может быть, сумма некоторых линейных элементов) и, возможно, отношения некоторых линейных элементов, т.е. одни данные определяют форму искомой фигуры, а другие - линейные - определяют её размеры. Тогда, используя углы (или их величины) или отношения линейных элементов, строят фигуру, подобную искомой, выбрав коэффициент подобия k равным отношению соответствующих линейных элементов, затем, используя остальные данные, строят искомую фигуру.
2.Применение подобия к доказательству теорем.
Задача. Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
Задача. Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.
3. В задачах при использовании свойств подобных треугольников:
- пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
(высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой,
катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком гипотенузы, заключённым между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла)
- пропорциональные отрезки окружности:
(свойство пересекающихся хорд, свойство двух секущих, свойство секущей и касательной).
-теорема о четырёх точках трапеции. (середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции лежат на одной прямой).
Разбор задач по геометрии, – увлекательное занятие, требующее знания всех разделов школьной математики. Длительная работа над одной и той же задачей часто полезнее, чем решение нескольких задач. Все перечисленное создает условия для формирования навыков исследовательской учебной деятельности, способствующей накоплению творческого потенциала. Выбранный мною исследовательский метод позволил заглянуть за пределы школьного учебника, провести поиск интересных задач. Данный материал можно использовать на уроках геометрии при повторении и обобщении материала в 9-х и 11-х классах, а так же на занятиях элективных курсов при подготовке к экзаменам.