Библиографическое описание:
Князькина Н.Г. Нестандартные задачи - развитие логического мышления // Образовательный альманах. 2024. № 3 (78). Часть 2. URL: https://f.almanah.su/2024/78-2.pdf.
В Федеральном Государственном Образовательном стандарте отмечается, что наиболее востребованной в обучении является учебно-исследовательская деятельность, целью которой является формирование исследовательских умений. Этим обусловлено введение в образовательный процесс средней школы методов и технологий на основе исследовательской деятельности учащихся.
В последнее время претерпели изменения требования к содержанию, процессу и результатам обучения младших школьников. Развитие различных качеств, приемов и видов мышления школьников в Федеральном Государственном Образовательном Стандарте начального общего образования второго поколения (ФГОС НОО) представлено как одно из важных направлений развития в процессе обучения.
Нестандартная зада ча — это задача, алгоритм решения кото рой учащимся неизвестен, т. е. ученики не знают заранее ни способов ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в за висимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения таких задач. Нестандарт ная задача, в отличие от традиционной, не может быть решена по какому-либо извест ному им алгоритму. Такие задачи не сковы вают ученика жесткими рамками одного ре шения. Необходим поиск решения, что тре бует творческой работы мышления и спосо бствует его развитию. Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, в ма тематике нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако при обучении решению нестандартных за дач можно и нужно следовать тем же педа гогическим условиям, что и при работе со стандартными задачами.
Е. В. Морозова отмечает, что требование «развивать логическое мышление учащихся» предъявляется наряду с требованием обеспечить усвоение учащимися программного материала» на протяжении всех лет обучения в школе. Но при этом нередко забывается, что логическое мышление сводится к анализу, синтезу, сравнению, обобщению и другим мыслительным операциям, и что научить ученика рассуждать, доказывать, делать выводы невозможно, если он не владеет этими мыслительными операциями. Ведь именно они обеспечивают глубокое и качественное усвоение научных знаний и создают необходимые условия для перехода на более высокие уровни развития мышления, вплоть до творческого. Мышление учеников имеет свои особенности. Именно в этот возрастной период наглядно-образное мышление, являющееся ранее основным, трансформируется в логическое, понятийное. В этой связи одной из важных задач, которую необходимо решить учителю в образовательном процессе является развитие логического мышления учеников, которое позволит им строить умозаключения, делать выводы, обосновывать свои суждения.
В математике решение задач является одновременно и целью обучения, и его средством. Одним из важных показателей уровня развития учащихся является их умение ставить и решать задачи.
По этому, одним из средств развития логического мышления учеников на уроках математики является задача, а в особенной степени нестандартная задача. Нестандартные задачи предполагают особое внимание к анализу их условия, а также выстраивание логических умозаключений.
Нестандартные математические задачи, в отличие от задач повышенной сложности, имеют условие, в котором учащимся довольно сложно выделить математический аппарат, который необходим для ее решения, как правило такие задачи являются задачами исследовательского типа. Понятие «нестандартная задача» является условным, так как если младший школьник не имеет определенную теоретическую базу, не знаком с определенными методами, то для него определенная задача будет являться нестандартной, а для другого та же задача будет стандартной, потому что он знает методы решения таких задач.
Таким образом, математическую задачу можно считать нестандартной для данного момента времени.
Для того, чтобы задача являлась нестандартной для данного возраста, необходимо чтобы она:
- не имела готовых алгоритмов решения, известных детям;
- имела содержание, доступное для понимания всем детям;
- имела интересное содержание;
- могла решаться с использованием математических знаний и умений, предусмотренных программой по математике для данного возраста.
Анализ теории и практики применения нестандартных задач в обучении школьников математике позволил определить их значение. А именно: нестандартные задачи учат школьников не только использованию известных алгоритмов, но и самостоятельному поиску решения, и, как следствие, развивают умение получать интересные рациональные способы решения задач, влияют на формирование математического образа мышления школьников, препятствуют развитию стереотипности мышления в процессе поиска решения задач, способствуют развитию умения находить взаимосвязи имеющихся знаний и использовать их в новой ситуации, а не усвоению конкретных алгоритмов, обеспечивают развитие умственных приемов (анализ, синтез, сравнение, классификация и др), оказывают положительное влияние на сознательность, прочность и глубину усвоения математического материала.
Анализ учебно-методической литературы позволил выделить следующие виды нестандартных математических задач, доступных школьникам, а также методы их решения:
1 Логические задачи. Данный вид задач трудно отделить от текстовых задач, которые решаются с помощью логического метода, потому что большая их часть относится к обоим видам задач. Логическими задачами называются задачи, решение которых, представляет собой цепочку логических умозаключений, а не последовательность вычислений.
Среди логических задач можно выделить следующие их виды:
1.а - задачи на переливание. Это задачи, в которых необходимо, имея определенные емкости (чаще всего две или три), разлить известное в задаче количество жидкости по имеющимся емкостям согласно условию задачи. Чаще всего необходимое количество жидкости должно оказаться в одной или в нескольких емкостях. Задачи данного вида удобно решать путем составления таблиц, которые будут отражать процесс переливания жидкости.
1.б - задачи на взвешивание. Это такие задачи, в которых, выполнив взвешивания, число которых минимально, необходимо:
- найти из группы имеющихся монет (могут быть детали) ту, которая будет фальшивой (она отличается от всех остальных массой, причем чаще всего масса фальшивой монеты (детали) меньше);
- расположить имеющиеся объекты в порядке убывания (возрастания) их массы;
- определить массу одних объектов зная массу других.
Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.в - задачи на переправы. Это задачи, в которых необходимо нескольким людям, животным или предметам переправиться с одного берега реки (водоема) на другой. При чем всегда имеются определенные условия, связанные с особенностями транспортируемого, и определенные затруднения, связанные с вместимостью плавательного транспорта, о котором идет речь в задаче.
Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.г - задачи на разъезды. Это задачи, в которых необходимо нескольким разъехаться нескольким транспортным средствам, причем, как правило, сложность разъезда заключается в ограниченности места или в сложности маневра, который необходимо совершить. Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.д - задачи на дележи. Этой задачи, в которых необходимо разделить предметы, о которых идет речь, чаще всего поровну на несколько групп по условию задачи.
Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.е - задачи на соответствие и порядок. Это задачи, в которых необходимо соотнести элементы нескольких множеств (чаще всего двух, трех), иногда одно из множеств может быть отрезком натурального ряда. Часто учащимся, предлагают с учетом имеющихся надписей определить содержимое мешков, шкатулок.
Задачи данного вида можно решать путем составления таблиц (таблицы истинности), построения графов или путем построения цепочки логических рассуждений.
1.ж - истинностные задачи – это задачи, в которых необходимо определить истинность утверждений, о которых идет речь в условии.
Задачи данного вида можно решать путем составления таблиц (таблицы истинности) или путем построения цепочки логических рассуждений. которые заключаются в построении и проверки всевозможных гипотез.
1.з - задачи на распиливание, разрезание. Это задачи, в которых необходимо в соответствии с условием задачи имеющиеся предметы распилить или разрезать на нужное число частей.
1.и - задачи на принцип Дирихле. Это задачи, в которых чаще всего необходимо доказать некоторое утверждение. Решение сводится к выбору «клеток» и «кроликов», и зачастую этот выбор не является очевидным. Сам принцип Дирихле в шуточной форме звучит следующим образом: невозможно рассадить трех кроликов в две клетки таким образом, что в каждой из них будет находиться не более одного кролика.
1.к - задачи на поиск инвариантного свойства. Инвариант – это свойство, которое остается неизменным для данных объектов.
Согласно Е.Е. Останиной, можно выделить типы таких задач в зависимости от того, какой способ или прием был реализован в процессе их решения: построение схемы, рисунка или чертежа, использование вспомогательных моделей (моделирование с помощью использование длины и площади, применение способов подбора необходимой величины, переформулирование условия задачи для того, чтобы ее свести к известной, узнаваемой, разбиение условия или же вопроса задачи на составные с последующим решением этих отдельных частей, решение задачи с ее конца).
Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо найти число различных комбинаций, подчиненных определенным условиям и составленным из элементов заданного множества. Эти задачи могут решаться с помощью правил комбинаторики: правил суммы и произведения или формул для подсчета числа таких комбинаций как сочетания, перестановки, размещения. Для учащихся школы доступны следующие методы решения комбинаторных задач: перебор, а именно следующие его виды – хаотичный, систематический (с помощью выбранного алгоритма, с помощью построения таблиц, графов и разновидности графов, дерева возможных вариантов), а также с помощью использования правил комбинаторики и формул для подсчета числа различных видов комбинаций.
Нестандартные задачи в процессе урочной деятельности по математике можно включать в любой из этапов любого типа урока. В процессе внеурочной деятельности эти задачи могут решаться на кружках, факультативах. Нестандартные задачи привлекают детей с разным уровнем развития логического мышления, что положительно сказывается на самом процессе обучения.
Библиографический список
1. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач Уч. пос. для пед. завед. / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких - М: Академия, 2002.–288с.
2. Морозова Е. В. Проблемы формирования готовности школьников к развитию рефлексии логического мышления // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2013. – № 11 (ноябрь). – С. 126–130.
3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман, Е.Н.Турецкий - М.: Просвещение, 1989. – 321 с.
Воронько, Т.А. Задачи исследовательского характера / Т.А. Воронько // Математика в школе. – 2004. - № 8. – С. 10-12.
Демченкова, Н.А. Проблемно-поисковые задачи как средство формирования исследовательских умений будущего учителя в курсе методики преподавания математике в педвузе: дис. … канд. пед. наук / Н.А. Демченкова. – Тольятти., 2000. – 189 с.
Князькина Н.Г. Нестандартные задачи - развитие логического мышления // Образовательный альманах. 2024. № 3 (78). Часть 2. URL: https://f.almanah.su/2024/78-2.pdf.
В Федеральном Государственном Образовательном стандарте отмечается, что наиболее востребованной в обучении является учебно-исследовательская деятельность, целью которой является формирование исследовательских умений. Этим обусловлено введение в образовательный процесс средней школы методов и технологий на основе исследовательской деятельности учащихся.
В последнее время претерпели изменения требования к содержанию, процессу и результатам обучения младших школьников. Развитие различных качеств, приемов и видов мышления школьников в Федеральном Государственном Образовательном Стандарте начального общего образования второго поколения (ФГОС НОО) представлено как одно из важных направлений развития в процессе обучения.
Нестандартная зада ча — это задача, алгоритм решения кото рой учащимся неизвестен, т. е. ученики не знают заранее ни способов ее решения, ни того, на какой учебный материал опирается решение. Одна и та же задача может быть стандартной или нестандартной в за висимости от того, знакомы ли учащиеся со способами решения таких задач. Нестандарт ная задача, в отличие от традиционной, не может быть решена по какому-либо извест ному им алгоритму. Такие задачи не сковы вают ученика жесткими рамками одного ре шения. Необходим поиск решения, что тре бует творческой работы мышления и спосо бствует его развитию. Универсального метода, позволяющего решить любую нестандартную задачу, в ма тематике нет, так как нестандартные задачи в какой-то степени неповторимы. Однако при обучении решению нестандартных за дач можно и нужно следовать тем же педа гогическим условиям, что и при работе со стандартными задачами.
Е. В. Морозова отмечает, что требование «развивать логическое мышление учащихся» предъявляется наряду с требованием обеспечить усвоение учащимися программного материала» на протяжении всех лет обучения в школе. Но при этом нередко забывается, что логическое мышление сводится к анализу, синтезу, сравнению, обобщению и другим мыслительным операциям, и что научить ученика рассуждать, доказывать, делать выводы невозможно, если он не владеет этими мыслительными операциями. Ведь именно они обеспечивают глубокое и качественное усвоение научных знаний и создают необходимые условия для перехода на более высокие уровни развития мышления, вплоть до творческого. Мышление учеников имеет свои особенности. Именно в этот возрастной период наглядно-образное мышление, являющееся ранее основным, трансформируется в логическое, понятийное. В этой связи одной из важных задач, которую необходимо решить учителю в образовательном процессе является развитие логического мышления учеников, которое позволит им строить умозаключения, делать выводы, обосновывать свои суждения.
В математике решение задач является одновременно и целью обучения, и его средством. Одним из важных показателей уровня развития учащихся является их умение ставить и решать задачи.
По этому, одним из средств развития логического мышления учеников на уроках математики является задача, а в особенной степени нестандартная задача. Нестандартные задачи предполагают особое внимание к анализу их условия, а также выстраивание логических умозаключений.
Нестандартные математические задачи, в отличие от задач повышенной сложности, имеют условие, в котором учащимся довольно сложно выделить математический аппарат, который необходим для ее решения, как правило такие задачи являются задачами исследовательского типа. Понятие «нестандартная задача» является условным, так как если младший школьник не имеет определенную теоретическую базу, не знаком с определенными методами, то для него определенная задача будет являться нестандартной, а для другого та же задача будет стандартной, потому что он знает методы решения таких задач.
Таким образом, математическую задачу можно считать нестандартной для данного момента времени.
Для того, чтобы задача являлась нестандартной для данного возраста, необходимо чтобы она:
- не имела готовых алгоритмов решения, известных детям;
- имела содержание, доступное для понимания всем детям;
- имела интересное содержание;
- могла решаться с использованием математических знаний и умений, предусмотренных программой по математике для данного возраста.
Анализ теории и практики применения нестандартных задач в обучении школьников математике позволил определить их значение. А именно: нестандартные задачи учат школьников не только использованию известных алгоритмов, но и самостоятельному поиску решения, и, как следствие, развивают умение получать интересные рациональные способы решения задач, влияют на формирование математического образа мышления школьников, препятствуют развитию стереотипности мышления в процессе поиска решения задач, способствуют развитию умения находить взаимосвязи имеющихся знаний и использовать их в новой ситуации, а не усвоению конкретных алгоритмов, обеспечивают развитие умственных приемов (анализ, синтез, сравнение, классификация и др), оказывают положительное влияние на сознательность, прочность и глубину усвоения математического материала.
Анализ учебно-методической литературы позволил выделить следующие виды нестандартных математических задач, доступных школьникам, а также методы их решения:
1 Логические задачи. Данный вид задач трудно отделить от текстовых задач, которые решаются с помощью логического метода, потому что большая их часть относится к обоим видам задач. Логическими задачами называются задачи, решение которых, представляет собой цепочку логических умозаключений, а не последовательность вычислений.
Среди логических задач можно выделить следующие их виды:
1.а - задачи на переливание. Это задачи, в которых необходимо, имея определенные емкости (чаще всего две или три), разлить известное в задаче количество жидкости по имеющимся емкостям согласно условию задачи. Чаще всего необходимое количество жидкости должно оказаться в одной или в нескольких емкостях. Задачи данного вида удобно решать путем составления таблиц, которые будут отражать процесс переливания жидкости.
1.б - задачи на взвешивание. Это такие задачи, в которых, выполнив взвешивания, число которых минимально, необходимо:
- найти из группы имеющихся монет (могут быть детали) ту, которая будет фальшивой (она отличается от всех остальных массой, причем чаще всего масса фальшивой монеты (детали) меньше);
- расположить имеющиеся объекты в порядке убывания (возрастания) их массы;
- определить массу одних объектов зная массу других.
Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.в - задачи на переправы. Это задачи, в которых необходимо нескольким людям, животным или предметам переправиться с одного берега реки (водоема) на другой. При чем всегда имеются определенные условия, связанные с особенностями транспортируемого, и определенные затруднения, связанные с вместимостью плавательного транспорта, о котором идет речь в задаче.
Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.г - задачи на разъезды. Это задачи, в которых необходимо нескольким разъехаться нескольким транспортным средствам, причем, как правило, сложность разъезда заключается в ограниченности места или в сложности маневра, который необходимо совершить. Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.д - задачи на дележи. Этой задачи, в которых необходимо разделить предметы, о которых идет речь, чаще всего поровну на несколько групп по условию задачи.
Задачи данного вида, как правило, решаются путем построения цепочки логических рассуждений.
1.е - задачи на соответствие и порядок. Это задачи, в которых необходимо соотнести элементы нескольких множеств (чаще всего двух, трех), иногда одно из множеств может быть отрезком натурального ряда. Часто учащимся, предлагают с учетом имеющихся надписей определить содержимое мешков, шкатулок.
Задачи данного вида можно решать путем составления таблиц (таблицы истинности), построения графов или путем построения цепочки логических рассуждений.
1.ж - истинностные задачи – это задачи, в которых необходимо определить истинность утверждений, о которых идет речь в условии.
Задачи данного вида можно решать путем составления таблиц (таблицы истинности) или путем построения цепочки логических рассуждений. которые заключаются в построении и проверки всевозможных гипотез.
1.з - задачи на распиливание, разрезание. Это задачи, в которых необходимо в соответствии с условием задачи имеющиеся предметы распилить или разрезать на нужное число частей.
1.и - задачи на принцип Дирихле. Это задачи, в которых чаще всего необходимо доказать некоторое утверждение. Решение сводится к выбору «клеток» и «кроликов», и зачастую этот выбор не является очевидным. Сам принцип Дирихле в шуточной форме звучит следующим образом: невозможно рассадить трех кроликов в две клетки таким образом, что в каждой из них будет находиться не более одного кролика.
1.к - задачи на поиск инвариантного свойства. Инвариант – это свойство, которое остается неизменным для данных объектов.
Согласно Е.Е. Останиной, можно выделить типы таких задач в зависимости от того, какой способ или прием был реализован в процессе их решения: построение схемы, рисунка или чертежа, использование вспомогательных моделей (моделирование с помощью использование длины и площади, применение способов подбора необходимой величины, переформулирование условия задачи для того, чтобы ее свести к известной, узнаваемой, разбиение условия или же вопроса задачи на составные с последующим решением этих отдельных частей, решение задачи с ее конца).
Комбинаторные задачи – это задачи, в которых необходимо найти число различных комбинаций, подчиненных определенным условиям и составленным из элементов заданного множества. Эти задачи могут решаться с помощью правил комбинаторики: правил суммы и произведения или формул для подсчета числа таких комбинаций как сочетания, перестановки, размещения. Для учащихся школы доступны следующие методы решения комбинаторных задач: перебор, а именно следующие его виды – хаотичный, систематический (с помощью выбранного алгоритма, с помощью построения таблиц, графов и разновидности графов, дерева возможных вариантов), а также с помощью использования правил комбинаторики и формул для подсчета числа различных видов комбинаций.
Нестандартные задачи в процессе урочной деятельности по математике можно включать в любой из этапов любого типа урока. В процессе внеурочной деятельности эти задачи могут решаться на кружках, факультативах. Нестандартные задачи привлекают детей с разным уровнем развития логического мышления, что положительно сказывается на самом процессе обучения.
Библиографический список
1. Демидова Т.Е., Тонких А.П. Теория и практика решения текстовых задач Уч. пос. для пед. завед. / Т.Е. Демидова, А.П. Тонких - М: Академия, 2002.–288с.
2. Морозова Е. В. Проблемы формирования готовности школьников к развитию рефлексии логического мышления // Научно-методический электронный журнал «Концепт». – 2013. – № 11 (ноябрь). – С. 126–130.
3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи / Л.М. Фридман, Е.Н.Турецкий - М.: Просвещение, 1989. – 321 с.
Воронько, Т.А. Задачи исследовательского характера / Т.А. Воронько // Математика в школе. – 2004. - № 8. – С. 10-12.
Демченкова, Н.А. Проблемно-поисковые задачи как средство формирования исследовательских умений будущего учителя в курсе методики преподавания математике в педвузе: дис. … канд. пед. наук / Н.А. Демченкова. – Тольятти., 2000. – 189 с.