Итапин Г.С., Итапин А.С., Покас Т.Д. Формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии по двум ее не соседним членам

Оригинaл материала размещен в выпуске № 2 (02) https://f.almanah.su/02.pdf

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №22 села Соленого муниципального образования Мостовский район
Итапин Александр Сергеевич
учитель математики
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение гимназия №4 поселка Псебай муниципального образования Мостовский район
Итапин Геннадий Сергеевич
учитель математики
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №22 села Соленого муниципального образования Мостовский район

admin-s22@rambler.ru

ФОРМУЛА ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ЗНАМЕНАТЕЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ ПО ДВУМ ЕЁ НЕ СОСЕДНИМ ЧЛЕНАМ

В текстах контрольных измерительных материалов основного государственного экзамена по математике часто встречаются задания, где необходимо найти знаменатель геометрической прогрессии по двум её не соседним членам, разница между которыми, скажем, два, три или более членов.
Сталкиваясь с такими задачами, можно проследить некоторую закономерность, которой и посвящена эта работа.
Используя логические размышления для решения некоторых элементарных заданий подобного типа, можно без труда подобрать знаменатель прогрессии.
Например, дана геометрическая прогрессия , для которой    Найдем знаменатель этой прогрессии. Разница между числами  и  равна трем позициям:     . Так как , а , то можно предположить, что число  только при умножении на  даёт результат 27. Проверим, так ли это:     . Все верно.
Но данный способ не предусматривает каких-либо закономерностей или математических формул. При выполнении действий с небольшими числами он относительно эффективен, а в задачах с большими значениями он требует тяжелых математических вычислений. Поэтому необходимо воспользоваться более рациональным способом нахождения знаменателя данной геометрической прогрессии.
Известно, что для нахождения знаменателя геометрической прогрессии по двум соседним членам существует формула вида:

.

В этом случае разница между числами в ряду равна одной позиции, то есть знаменатель в первой степени равен: .
В учебнике алгебры 9 класса (авторы – Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова) рассматривается пример, где необходимо рассчитать восьмой член геометрической прогрессии , если , а . Так как , то . В данном случае имеем дело с уравнением , которое будет иметь два корня: . Значит, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи:
  ;
  .
Интересующий нас знаменатель этой прогрессии в итоге находится из уравнения  по формуле .
А если два члена геометрической прогрессии находятся друг от друга на расстоянии  членов, разница между ними равна  позиций, тогда .
Аналогично примеру из учебника рассмотрим случай, когда  – четное число. Найдем знаменатель геометрической прогрессии , в которой , . В этом случае . Следовательно, . Данное уравнение будет иметь два корня: , то есть, существуют две геометрические прогрессии, для которых , :
1) геометрическая прогрессия  со знаменателем :
…; ; ; ; ; ; …
2) геометрическая прогрессия  со знаменателем :
…; ; ; ; ; ; …
Теперь рассмотрим пример, в котором число  – нечетное. Найдем знаменатель прогрессии , в которой , . Используем формулу: , значит, . Это уравнение имеет один корень . Значит, эта геометрическая прогрессия  выглядит так:
…; ; ; ; ; …
Следовательно,
1) чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой известны два не соседних члена, находящихся друг от друга на расстоянии  позиций, где  - четное число, можно воспользоваться формулой:

 (1)

При четном  возможно существование двух различных геометрических прогрессий с одинаковыми членами  и .
2) чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, в которой известны два не соседних члена, находящихся друг от друга на расстоянии  позиций, где  - нечетное число, можно воспользоваться формулой:

 (2)

Таким образом, получена формула, позволяющая находить знаменатель геометрической прогрессии по двум её не соседним членам. Проверим универсальность выведенной формулы.
Пример 1. Дана геометрическая прогрессия , в которой ; . Найдите знаменатель геометрической прогрессии.
Решение. Воспользуемся выведенной формулой для нечетного :
.
Ответ: .
Проверим: ; ; . Ответ верный.
Пример 2. Дана геометрическая прогрессия . В ней ; . Найдите знаменатель данной геометрической прогрессии.
Решение. Воспользуемся выведенной формулой для четного :
.
Ответ: .
Проверка:
1) ; ; ; ;
2) ; ; ; . Как мы видим, оба корня соответствуют условию.
Пример 3. Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , в которой , .
Решение. Чтобы воспользоваться формулой суммы первых  членов геометрической прогрессии , необходимо знать знаменатель данной числовой последовательности. Найдем его с помощью нашей формулы для нечетного :
.
Теперь находим десятый член этой прогрессии:
.
Зная  и , находим сумму первых десяти членов данной последовательности:
.
Ответ: 14762.
Таким образом, получена формула для нахождения знаменателя геометрической прогрессии по двум ее не соседним членам. Задания такого типа часто встречаются в контрольных измерительных материалах ОГЭ по математике, но формула в справочных материалах и учебниках отсутствует. Хотя она может использоваться как преподавателями, так и учащимися на уроках математики при решении типовых заданий КИМов ОГЭ по математике на тему «Геометрическая прогрессия». На факультативных занятиях можно рассмотреть процедуру ее выведения.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1) Алгебра. 9 класс: учебник для общеобразоват. организаций / А45 [Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк, К.И.Нешков, С.Б.Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 21-е изд. – М.: Просвещение, 2014. – 271 с.
2) ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2016. – 224 с. – (ОГЭ. ФИПИ – школе).

Г. С. Итапин

8-928-255-23-03

admin-s22@rambler.ru